=
1
−
m
P
j
=1
b
0
j
(
η
)
∂q
∂z
j
2
−
b
0
1
(
η
)
∂q
∂z
2
2
. . .
−
b
0
1
(
η
)
∂q
∂z
m
2
0
1
. . .
0
...
...
. . .
...
0
0
. . .
1
=
= 1
−
m
X
j
=1
b
0
j
(
η
)
∂q
∂z
j
2
≥
ε >
0
.
Таким образом,
J
(
z
1
2
, . . . , z
m
2
, η
)
6
= 0
при всех
η
2
[
η
0
, η
]
,
z
i
2
2
R
,
i
= 1
, m
, и, следовательно, по теореме о неявной функции
z
i
2
=
c
i
(
η
)
2
2
C
1
[
η
0
, η
]
,
i
= 1
, m
.
I
З а м е ч а н и е. При выполнении условий теоремы 2 управления
u
j
,
j
= 1
, m
, можно найти другим способом. Считая, что в (3) и
в (10)
z
i
1
=
b
i
(
η
)
,
z
i
2
=
c
i
(
η
)
,
i
= 1
, m
, продифференцируем по
η
равенства (10), учитывая, что в силу системы (3)
d
dη
z
i
2
=
˙
z
i
2
˙
η
=
v
i
q
(
z
1
1
, z
1
2
, . . . , z
m
1
, z
m
2
, η
)
, i
= 1
, m,
где
v
i
=
f
i
(
z
1
1
, z
1
2
, . . . , z
m
1
, z
m
2
, η
) +
m
X
j
=1
g
ij
(
z
1
1
, z
1
2
, . . . , z
m
1
, z
m
2
, η
)
u
j
.
В результате после преобразований получим систему линейных алге-
браических уравнений
v
i
−
b
0
i
(
η
)
m
X
j
=1
∂q
∂z
j
2
v
j
=
W
i
(
η
)
, i
= 1
, m,
(18)
относительно
v
1
, . . . , v
m
, где
W
i
(
η
) =
b
00
i
(
η
)
q
2
(
b
1
(
η
)
, c
1
(
η
)
, . . . , b
m
(
η
)
, c
m
(
η
)
, η
) +
+
b
0
i
(
η
)
q
(
b
1
(
η
)
, c
1
(
η
)
, . . . , b
m
(
η
)
, c
m
(
η
)
, η
)
"
m
X
j
=1
∂q
∂z
j
1
b
0
j
(
η
) +
∂q
∂η
#
.
Определитель матрицы системы (18) равен
J
(
c
1
(
η
)
, . . . , c
m
(
η
)
, η
)
. Он
не обращается в нуль на отрезке
[
η
0
, η
]
, поэтому система (18) при
η
2
[
η
0
, η
]
имеет единственное решение
v
1
=
v
1
(
η
)
, . . . , v
m
=
v
m
(
η
)
.
Чтобы найти значения управлений
u
1
, . . . , u
m
в момент времени
t
,
надо с помощью (13) для
t
найти соответствующее значение
η
, а затем
решить систему линейных алгебраических уравнений
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2013. № 2
11
