z
1
1
(
t
) =
z
1
1
, z
1
2
(
t
) =
z
1
2
, . . . , z
m
1
(
t
) =
=
z
m
1
, z
m
2
(
t
) =
z
m
2
, η
(
t
) =
η .
(5)
Дополнительно предположим, что
q
(
z
1
1
, z
1
2
, . . . , z
m
1
, z
m
2
, η
)
>
0
в
R
n
.
Из последнего уравнения системы (3) следует, что тогда на траек-
ториях системы
˙
η >
0
. Следовательно, каким бы ни было решение
z
i
1
(
t
)
, z
i
2
(
t
)
, η
(
t
)
,
i
= 1
, m
, системы (3), функция
η
(
t
)
возрастает, по-
этому в любой момент времени
t
каждому значению
η
=
η
(
t
)
соответ-
ствуют единственные значения
z
i
1
,
z
i
2
,
i
= 1
, m
, т.е. можно рассматри-
вать
z
i
1
,
z
i
2
,
i
= 1
, m
, как функции
η
. Граничные условия на переменные
z
i
1
,
z
i
2
тогда примут вид
z
i
1
(
η
0
) =
z
i
10
, z
i
2
(
η
0
) =
z
i
20
, z
i
1
(
η
) =
z
i
1
, z
i
2
(
η
) =
z
i
2
.
(6)
Пусть
η
0
< η
и
b
i
(
η
)
2
C
2
[
η
0
, η
]
,
i
= 1
, m
, – любые функции, удовлет-
воряющие условиям
b
i
(
η
0
) =
z
i
10
, b
0
i
(
η
0
) =
z
i
20
q
(
z
1
10
, z
1
20
, . . . , z
m
10
, z
m
20
, η
0
)
,
b
i
(
η
) =
z
i
1
, b
0
i
(
η
) =
z
i
2
q
(
z
1
1
, z
1
2
, . . . , z
m
1
, z
m
2
, η
)
.
(7)
Положим
z
i
1
=
b
i
(
η
)
, i
= 1
, m.
(8)
В силу системы (3) справедливы равенства
d
dη
z
i
1
=
˙
z
i
1
˙
η
=
z
i
2
q
(
z
1
1
, z
1
2
, . . . , z
m
1
, z
m
2
, η
)
, i
= 1
, m.
(9)
Учитывая (8), из (9) получаем систему уравнений
z
i
2
=
b
0
i
(
η
)
q
(
b
1
(
η
)
, z
1
2
, . . . , b
m
(
η
)
, z
m
2
, η
)
, i
= 1
, m,
(10)
относительно
z
i
2
,
i
= 1
, m
. Пусть для любого
η
2
[
η
0
, η
]
существует
решение этой системы
z
i
2
=
c
i
(
η
)
, i
= 1
, m,
(11)
и функции
c
i
(
η
)
,
i
= 1
, m
, непрерывно дифференцируемы на отрезке
[
η
0
, η
]
.
Тогда функции (8), (11) удовлетворяют условиям (6). Подставим
z
i
1
=
b
i
(
η
)
и
z
i
2
=
c
i
(
η
)
вместо
z
i
1
,
z
i
2
в последнее уравнение системы (3).
Получим уравнение
˙
η
=
q
(
b
1
(
η
)
, c
1
(
η
)
, . . . , b
m
(
η
)
, c
m
(
η
)
, η
)
.
(12)
Проинтегрировав его с начальным условием
η
(0) =
η
0
, придем к со-
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2013. № 2
7
