отношению
t
=
η
Z
η
0
dη
q
(
b
1
(
η
)
, c
1
(
η
)
, . . . , b
m
(
η
)
, c
m
(
η
)
, η
)
,
(13)
которое неявно задает решение
η
=
η
(
t
)
уравнения (12), удовлетворяю-
щее условию
η
(0) =
η
0
. Момент времени
t
=
t
, в который выполнено
равенство
η
(
t
) =
η
, определяется соотношением
t
=
η
Z
η
0
dη
q
(
b
1
(
η
)
, c
1
(
η
)
, . . . , b
m
(
η
)
, c
m
(
η
)
, η
)
.
(14)
Отметим, что условие
q
(
z
1
1
, z
1
2
, . . . , z
m
1
, z
m
2
, η
)
>
0
в
R
n
гарантирует су-
ществование момента времени
t
=
t
, определяемого равенством (14),
а также существование и непрерывную дифференцируемость на от-
резке
[0
, t
]
функции
η
(
t
)
.
Функции
b
i
(
η
(
t
))
,
c
i
(
η
(
t
))
,
i
= 1
, m
,
η
(
t
)
, задают непрерывно диф-
ференцируемую
t
-параметрическую кривую в пространстве состояний
системы (3),
t
2
[0
, t
]
, которая соединяет состояния (4) и (5). Чтобы
найти управления
u
j
(
t
)
,
j
= 1
, m
, реализующие эту кривую в качестве
траектории системы (3), подставим в систему (3) функции
b
i
(
η
(
t
))
,
c
i
(
η
(
t
))
,
i
= 1
, m
, и
η
(
t
)
. Получим квадратную систему линейных ал-
гебраических уравнений
m
X
j
=1
g
ij
(
b
1
(
η
(
t
))
, c
1
(
η
(
t
))
, . . . , b
m
(
η
(
t
))
, c
m
(
η
(
t
))
, η
(
t
))
u
j
= ˙
c
i
(
η
(
t
))
−
−
f
i
(
b
1
(
η
(
t
))
, c
1
(
η
(
t
))
, . . . , b
m
(
η
(
t
))
, c
m
(
η
(
t
))
, η
(
t
))
, i
= 1
, m,
(15)
относительно управлений
u
j
,
j
= 1
, m
, с невырожденной матрицей
g
(
b
1
(
η
(
t
))
, c
1
(
η
(
t
))
, . . . , b
m
(
η
(
t
))
, c
m
(
η
(
t
))
, η
(
t
))
.
Решив эту систему, найдем
u
j
=
u
j
(
t
)
,
j
= 1
, m
.
З а м е ч а н и е. Условия
q
(
z
1
1
, z
1
2
, . . . , z
m
1
, z
m
2
, η
)
>
0
в
R
n
и
det
g
(
z, η
)
6
= 0
в
R
n
можно ослабить. При решении терминаль-
ной задачи (4), (5) для системы (3) достаточно, чтобы условия
q
(
z
1
1
, z
1
2
, . . . , z
m
1
, z
m
2
, η
)
>
0
,
det
g
(
z, η
)
6
= 0
были выполнены при
η
2
[
η
0
, η
]
,
z
i
1
2
[ min
[
η
0
,η
]
b
i
(
η
)
,
max
[
η
0
,η
]
b
i
(
η
)]
,
z
i
2
2
R
,
i
= 1
, m
.
4. Достаточное условие существования решения.
Ключевая
проблема при применении описанной в п. 3 схемы решения тер-
минальной задачи (3)–(5) — существование и непрерывная дифферен-
цируемость на отрезке
[
η
0
, η
]
функций
z
i
2
=
c
i
(
η
)
, заданных неявно
системой уравнений (10). Докажем достаточное условие существова-
ния функций
z
i
2
=
c
i
(
η
)
2
C
1
[
η
0
, η
]
,
i
= 1
, m
.
8
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2013. № 2
