Теорема 2.
Пусть для некоторого
ε >
0
неравенство
m
X
i
=1
b
0
i
(
η
)
∂q
(
z
1
1
, z
1
2
, . . . , z
m
1
, z
m
2
, η
)
∂z
i
2
6
1
−
ε
выполнено при всех
η
2
[
η
0
, η
]
,
z
i
1
2
[ min
[
η
0
,η
]
b
i
(
η
)
,
max
[
η
0
,η
]
b
i
(
η
)]
,
z
i
2
2
R
,
i
= 1
, m
. Тогда система уравнений
(10)
на отрезке
[
η
0
, η
]
име-
ет единственное решение
z
i
2
=
c
i
(
η
)
,
i
= 1
, m
, причем функции
c
i
(
η
)
2
C
1
[
η
0
, η
]
,
i
= 1
, m
.
J
Зафиксируем произвольное
˜
η
2
[
η
0
, η
]
и покажем, что при
η
= ˜
η
система (10) имеет единственное решение
˜
z
1
2
, . . . ,
˜
z
m
2
. Если
b
0
i
(˜
η
) = 0
для всех
i
= 1
, m
, то очевидно, что
˜
z
1
2
=
∙ ∙ ∙
= ˜
z
m
2
= 0
.
Предположим теперь, что хотя бы для одного
i
выполнено нера-
венство
b
0
i
(˜
η
)
6
= 0
. Будем для определенности полагать, что
b
0
1
(˜
η
)
6
= 0
и, более того, что
b
0
1
(˜
η
)
>
0
. Тогда из первого уравнения системы (10)
находим, что
q
(
b
1
(˜
η
)
, z
1
2
, . . . , b
m
(˜
η
)
, z
m
2
,
˜
η
) =
z
1
2
b
0
1
(˜
η
)
.
Подставив это выражение в остальные уравнения системы (10), полу-
чим равенства
z
i
2
=
b
0
i
(˜
η
)
b
0
1
(˜
η
)
z
1
2
, i
= 2
, m.
(16)
Подставив их в первое уравнение системы (10), получим уравнение
z
1
2
=
b
0
1
(˜
η
)
∙
q b
1
(˜
η
)
, z
1
2
, b
2
(˜
η
)
,
b
0
2
(˜
η
)
b
0
1
(˜
η
)
z
1
2
, . . . , b
m
(˜
η
)
,
b
0
m
(˜
η
)
b
0
1
(˜
η
)
z
1
2
,
˜
η
(17)
относительно
z
1
2
. Рассмотрим функцию
ψ
(
z
1
2
) =
b
0
1
(˜
η
)
∙
q b
1
(˜
η
)
, z
1
2
, b
2
(˜
η
)
,
b
0
2
(˜
η
)
b
0
1
(˜
η
)
z
1
2
, . . . , b
m
(˜
η
)
,
b
0
m
(˜
η
)
b
0
1
(˜
η
)
z
1
2
,
˜
η .
При всех
z
1
2
2
R
выполнены неравенства
ψ
(
z
1
2
)
>
0
и
ψ
0
(
z
1
2
) =
b
0
1
(˜
η
)
∂q
∂z
1
2
+
m
X
i
=2
∂q
∂z
i
2
∙
b
0
i
(˜
η
)
b
0
1
(˜
η
)
!
=
m
X
i
=1
b
0
i
(˜
η
)
∂q
∂z
i
2
6
1
−
ε.
Обозначим
h
(
z
1
2
) =
ψ
(
z
1
2
)
−
z
1
2
. Тогда уравнение (17) примет вид
h
(
z
1
2
) = 0
. Отметим, что
h
(0) =
ψ
(0)
>
0
, а при
z
1
2
>
0
справедлива
оценка
h
(
z
1
2
) =
z
1
2
Z
0
ψ
0
(
z
1
2
)
−
1
dz
1
2
+
h
(0)
6
z
1
2
Z
0
(
−
ε
)
dz
1
2
+
h
(0) =
−
εz
1
2
+
h
(0)
,
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2013. № 2
9
