поэтому
h
(
z
1
2
)
<
0
, как только
z
1
2
> h
(0)
/ε
. Отсюда следует, что суще-
ствует такое
˜
z
1
2
, что
h
(˜
z
1
2
) = 0
, т.е. существует решение уравнения (17).
Так как
h
0
(
z
1
2
) =
ψ
0
(
z
1
2
)
−
1
6
−
ε <
0
,
то функция
h
(
z
1
2
)
строго убывает, поэтому
˜
z
1
2
— еe единственный нуль
в
R
. По формулам (16) найдем
˜
z
i
2
=
b
0
i
(˜
η
)
b
0
1
(˜
η
)
˜
z
1
2
, i
= 2
, m,
и получим, что
˜
z
1
2
, . . . ,
˜
z
m
2
— единственное решение системы (10) при
˜
η
2
[
η
0
, η
]
. Таким образом, на отрезке
[
η
0
, η
]
определены функции
c
1
(
η
)
, . . . c
m
(
η
)
, которые каждому
˜
η
2
[
η
0
, η
]
ставят в соответствие
единственное решение
˜
z
1
2
, . . . ,
˜
z
m
2
системы (10) при
η
= ˜
η
.
Покажем, что
z
i
2
=
c
i
(
η
)
2
C
1
[
η
0
, η
]
,
i
= 1
, m
. Обозначим
H
i
(
z
1
2
, . . . , z
m
2
, η
) =
z
i
2
−
b
0
i
(
η
)
q
(
b
1
(
η
)
, z
1
2
, . . . , b
m
(
η
)
, z
m
2
, η
)
, i
= 1
, m.
Тогда система (10) примет вид
H
i
(
z
1
2
, . . . , z
m
2
, η
) = 0
, i
= 1
, m.
Вычислим якобиан
J
(
z
1
2
, . . . , z
m
2
, η
)
системы функций
H
i
(
z
1
2
, . . . , z
m
2
, η
)
,
i
= 1
, m
, по переменным
z
1
2
, . . . , z
m
2
:
J
(
z
1
2
, . . . , z
m
2
, η
) =
1
−
b
0
1
(
η
)
∂q
∂z
1
2
−
b
0
1
(
η
)
∂q
∂z
2
2
. . .
−
b
0
1
(
η
)
∂q
∂z
m
2
−
b
0
2
(
η
)
∂q
∂z
1
2
1
−
b
0
2
(
η
)
∂q
∂z
2
2
. . .
−
b
0
2
(
η
)
∂q
∂z
m
2
...
...
. . .
...
−
b
0
m
(
η
)
∂q
∂z
1
2
−
b
0
m
(
η
)
∂q
∂z
2
2
. . .
1
−
b
0
m
(
η
)
∂q
∂z
m
2
.
Если при некотором
η
2
[
η
0
, η
]
выполнены равенства
b
0
i
(
η
) = 0
,
i
= 1
, m
, то
J
(
z
1
2
, . . . , z
m
2
, η
) = 1
при всех
z
i
2
2
R
,
i
= 1
, m
. Предполо-
жим теперь, что при некотором
η
2
[
η
0
, η
]
хотя бы одна из функций
b
0
i
,
например
b
0
1
, отлична от нуля. Тогда сначала для
i
= 2
, m
вычтем из
i
-й
строки определителя его первую строку, умноженную на
b
0
i
(
η
)
/b
0
1
(
η
)
, а
затем прибавим к первому столбцу полученного определителя линей-
ную комбинацию остальных столбцов с коэффициентами
b
0
2
(
η
)
/b
0
1
(
η
)
,
. . .
,
b
0
m
(
η
)
/b
0
1
(
η
)
. Получим
J
(
z
1
2
, . . . , z
m
2
, η
) =
1
−
b
0
1
(
η
)
∂q
∂z
1
2
−
b
0
1
(
η
)
∂q
∂z
2
2
. . .
−
b
0
1
(
η
)
∂q
∂z
m
2
−
b
0
2
(
η
)
/b
0
1
(
η
)
1
. . .
0
...
...
. . .
...
−
b
0
m
(
η
)
/b
0
1
(
η
)
0
. . .
1
=
10
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2013. № 2
