˙
x
=
F
(
x
) +
m
X
j
=1
G
j
(
x
)
u
j
(
t
)
, x
(0) =
x
0
существует момент времени
t
=
t
, в который это решение будет
удовлетворять условию
x
(
t
) =
x
.
Системе (1) на пространстве состояний
R
n
взаимно однозначно
соответствуют векторные поля
F =
n
X
i
=1
F
i
(
x
)
∂
∂x
i
,
G
j
=
n
X
i
=1
G
ji
(
x
)
∂
∂x
i
, j
= 1
, m.
Обозначим коммутатор двух векторных полей
X
и
Y
через
[X
,
Y]
, и
пусть ad
0
X
Y = Y
, ad
k
X
Y = [X
,
ad
k
−
1
X
Y]
,
k
= 1
,
2
, . . .
.
Следующая теорема [4] устанавливает необходимые и достаточ-
ные условия, при выполнении которых система (1) на открытом под-
множестве
Ω
пространства состояний
R
n
с помощью гладкой замены
переменных
(
z, η
) =
ϕ
(
x
)
, где
ϕ
: Ω
→
ϕ
(Ω)
R
n
, преобразуется к
квазиканоническому виду
˙
z
i
1
=
z
i
2
, . . . ,
˙
z
i
r
i
−
1
=
z
i
r
i
,
˙
z
i
r
i
=
f
i
(
z, η
) +
m
P
j
=1
g
ij
(
z, η
)
u
j
,
˙
η
1
=
q
1
(
z, η
)
, . . .
˙
η
ρ
=
q
ρ
(
z, η
)
,
(2)
i
= 1
, m, r
1
+
∙ ∙ ∙
+
r
m
=
n
−
ρ, z
= (
z
1
1
, . . . , z
1
r
1
, . . . , z
m
1
, . . . , z
m
r
m
)
т
,
η
= (
η
1
, . . . , η
ρ
)
т
, f
i
(
z, η
)
, g
ij
(
z, η
)
2
C
∞
(
ϕ
(Ω))
, i, j
= 1
, m,
q
1
(
z, η
)
, . . . q
ρ
(
z, η
)
2
C
∞
(
ϕ
(Ω))
.
Теорема 1.
Для того чтобы аффинная система
(1)
на множестве
Ω
R
n
приводилась к квазиканоническому виду
(2)
, необходимо и
достаточно, чтобы
:
1)
существовали функции
ϕ
i
(
x
)
2
C
∞
(Ω)
,
i
= 1
, m
, удовлетворяю-
щие в
Ω
системе уравнений в частных производных первого порядка
ad
k
F
G
j
ϕ
i
(
x
) = 0
, k
= 0
, r
i
−
2
, i, j
= 1
, m, x
2
Ω;
2)
существовали такие функции
ϕ
n
−
ρ
+
l
(
x
)
2
C
∞
(Ω)
,
l
= 1
, ρ
, что
для всех
x
2
Ω
G
j
ϕ
n
−
ρ
+
l
(
x
) = 0
, j
= 1
, m, l
= 1
, ρ,
и отображение
ϕ
: Ω
→
ϕ
(Ω)
, задаваемое системой функций
z
i
k
= F
k
−
1
ϕ
i
(
x
)
, k
= 1
, r
i
, i
= 1
, m,
η
l
=
ϕ
n
−
ρ
+
l
(
x
)
, l
= 1
, ρ,
являлось диффеоморфизмом.
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2013. № 2
5
