Первая задача — это случай однородного вертикального электри-
ческого поля в сочетании с “подогреваемым дном”. В такой задаче
представляет интерес взаимное влияние неустойчивости заряженной
поверхности (неустойчивость Френкеля–Тонкса) [1] и конвективной
неустойчивости [2].
Согласно принципу монотонности возмущений, при подогреве
снизу декременты нормальных возмущений вещественны и все воз-
мущения либо возрастают, либо затухают во времени монотонно. При
учете капиллярных эффектов, вообще говоря, принцип монотонно-
сти возмущений не всегда верен, так как капиллярные моды носят
колебательный характер. Волновые движения при неустойчивости
Френкеля–Тонкса монотонны. Отсюда для первой задачи можно сразу
сказать, что результирующие неустойчивости для жидкостей с доста-
точно большим поверхностным натяжением будут монотонными.
Вторая задача — это сочетание подогрева плоского слоя жидко-
сти сверху с вертикальным электрическим полем. Здесь может иметь
место существенное изменение картины волновых движений в отли-
чие от аналогичного случая в отсутствие поля, так как при подогреве
сверху все нормальные возмущения затухают со временем, но систе-
ма имеет колебательные моды собственных движений [2], как в случае
волн на поверхности раздела двух жидкостей различной плотности в
поле сил тяжести, когда верхняя жидкость движется с постоянной фо-
новой скоростью (неустойчивость Кельвина–Гельмгольца) [3]. Пред-
ставляет интерес возможность управления началом режима неустой-
чивости Френкеля–Тонкса при помощи вертикального нагрева сверху,
хотя вопрос о взаимодействии факторов, приводящих к монотонной и
колебательной неустойчивости, в данном случае остается открытым.
1. Постановка и математическая формулировка задачи.
Пусть
имеется плоский слой толщиной
h
тяжелой тепло- и электропровод-
ной слабосжимаемой жидкости, нижняя граница которой соприкаса-
ется с твердой подложкой, имеющей высокую теплопроводность, а
верхняя — свободна и находится в постоянном, перпендикулярном к
невозмущенной поверхности электрическом поле. Относительное ги-
дростатическое изменение плотности мало, разность температур на
верхней и нижней границах поддерживается постоянной; на поверхно-
сти описанной жидкости распространяются плоские синусоидальные
волны малой амплитуды. Температура на границах слоя фиксирована,
вертикальный градиент равновесной температуры в невозмущенном
состоянии равен
−
A
.
При указанных допущениях справедлива линеаризованная систе-
ма уравнений, состоящая из уравнений Навье–Стокса, непрерывно-
сти, теплопереноса в приближении Буссинеска–Обербека [3], уравне-
ния Пуассона [1] для электрического потенциала с соответствующими
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2008. № 3
17
