Требование нетривиальности системы линейных уравнений отно-
сительно констант
A
j
дает трансцендентное дисперсионное уравнение
c определителем шестого порядка.
Граничные условия для колебательных и монотонных возму-
щений.
Подстановка в граничные условия амплитудных функций и
требование нетривиальности решения системы линейных уравнений
относительно свободных констант дают соответствующее дисперси-
онное уравнение, которое нужно решать численно.
Граничные условия (2) записаны в наиболее общем виде и могут
использоваться как для колебательных, так и для монотонных дви-
жений жидкости. Вообще говоря, монотонность или периодичность
движений должна определяться после подстановки модельных реше-
ний (5) в граничные условия (2) и их последующего решения. Когда
заранее известно, что движения монотонные, граничные условия для
скоростей на свободной поверхности при поиске неустойчивых волн
могут быть переписаны с помощью уравнения неразрывности в виде
z
= 1 :
υ
z
=
∂
2
υ
z
∂z
2
= 0
.
В такой форме, однако, граничные условия не допускают колеба-
тельных решений.
В некоторых случаях удается заранее предсказать вид волнового
движения. Возбуждающие факторы можно условно разделить на мо-
нотонные и колебательные:
— фактор поверхностного заряда (причина неустойчивости Френ-
келя–Тонкса) — монотонный, так как выйдя из положения равновесия,
поверхность жидкости отклоняется вплоть до проявления нелинейных
эффектов движения или даже до отрыва капли (экспериментально на-
блюдаемое появление “конусов Тейлора”);
— фактор динамической раскачки верхней движущейся жидкостью
(причина неустойчивости Кельвина–Гельмгольца) — колебательный.
Несмотря на качественные различия, эти две неустойчивости могут
быть сведены к какой-нибудь одной при помощи введения эффектив-
ных коэффициентов поверхностного натяжения, как это показано в
работе [5].
Монотонные факторы должны приводить к реализации монотон-
ного возмущения, а следовательно, условием критичности числа Рэлея
будет
Ra
=
Ra
c
)
iω
= 0
.
Тогда условие критичности числа Рэлея может быть определено
с учетом (4) и (5) как условие нетривиальности решения системы
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2008. № 3
21
