начинается неустойчивость Френкеля–Тонкса, а волны с близкими зна-
чениями волнового числа, устойчивые в отсутствие подогрева, могут
возбуждаться даже при малых значениях чисел Рэлея.
Анализ спектра амплитудных функций возмущений.
Как уже
было отмечено, спектральное уравнение (4) — кубическое относитель-
но
ζ
2
, а следовательно, всегда имеет точное решение в радикалах:
ζ
2
i
=
k
2
−
i ω
(
Pr
+ 1)
3
+
x
i
, i
= 1
,
2
,
3;
x
1
=
p
p
3
+
q
2
−
q
2/3
−
p
3
q p
p
3
+
q
2
−
q
;
x
2
,
3
=
1
2
p
−
p
p
3
+
q
2
−
q
2/3
3
q p
p
3
+
q
2
−
q
±
i
√
3
2
p
+
p
p
3
+
q
2
−
q
2/3
3
q p
p
3
+
q
2
−
q
;
p
=
1
9
Pr
3
+1
Pr +1
ω
2
;
q
=
Ra
k
2
2
−
iω
3
27
(
Pr
+ 1) (
Pr
−
2)
Pr
−
1
2
.
(6)
Выражениями (6) определяется спектр собственных амплитудных
функций линеаризованных уравнений в приближении Буссинеска.
Оно может быть переписано в виде
y
3
+
iω
(
Pr
+ 1)
y
2
−
ω
2
Pr
y
+
Ra
k
2
= 0
,
y
=
ζ
2
−
k
2
.
(7)
Пусть
y
1
, y
2
, y
3
— корни уравнения (4), тогда справедливы соотно-
шения
y
1
+
y
2
+
y
3
=
−
s
(
Pr
+ 1) ;
y
1
y
2
+
y
1
y
3
+
y
2
y
3
=
s
2
Pr
;
y
1
y
2
y
3
=
Ra
k
2
;
s
=
iω.
(8)
Уравнения (8) позволяют сделать ряд важных выводов о спек-
тре значений
ζ
. Например, требование, чтобы значения
ζ
были дей-
ствительными (или одно решение
ζ
2
действительное, а два других —
комплексно-сопряженные) для любых волн, приводит к выводу о том,
что величина
s
=
iω
является действительной (известный результат
для случая подогреваемой снизу жидкости, т. е. положительных зна-
чений числа Рэлея). Возможные значения
ζ
-параметра и их связь с
видом амплитудных функций приведены в таблице.
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2008. № 3
23
