ных решений в систему (3) и требование нетривиальности общего
решения приводят к спектральному уравнению вида
ζ
2
−
k
2
+
iω
0
−
ik
0
0
ζ
2
−
k
2
+
iω
−
ζ
Ra
0
1
0
ζ
2
−
k
2
+
iω
Pr
ik
ζ
0
0
= 0
.
Алгебраическое уравнение, определяющее спектр значений
ζ
по-
лучается после раскрытия детерминанта и элементарных преобразо-
ваний:
ζ
2
−
k
2
ζ
2
−
k
2
+
iω ζ
2
−
k
2
+
iω
Pr
+
Ra
k
2
= 0
.
(4)
Уравнение (4) — бикубическое относительно показателя экспонен-
ты, т.е. спектр значений
ζ
представляет собой три пары комплексно-
сопряженных чисел, а искомые амплитудные функции являются ли-
нейными комбинациями гиперболических синусов и косинусов.
Выразим амплитудные функции в виде линейных комбинаций ги-
перболических синусов и косинусов (или экспонент с противополож-
ными по знаку показателями степени), считая известными решения
спектрального уравнения (4).
Если
ζ
j
— корни спектрального уравнения (4), то скорости и откло-
нения температур можно искать в виде
υ
x
=
ζ
j
A
j
exp [
ζ
j
z
] exp [
i
(
kx
−
ωt
)] ;
υ
z
=
−
ikA
j
exp [
ζ
j
z
] exp [
i
(
kx
−
ωt
)] ;
θ
=
ikA
j
exp [
ζ
j
z
]
ζ
2
j
−
k
2
+
iω
Pr
exp [
i
(
kx
−
ωt
)]
,
где предполагается суммирование по дважды повторяющимся ин-
дексам.
Подстановка в граничные условия приводит к однородной системе
линейных уравнений относительно констант:
ζ
j
A
j
= 0;
X
j
A
j
= 0;
A
j
ζ
2
j
−
k
2
+
iω
Pr
= 0;
ζ
2
j
+
k
2
A
j
exp [
ζ
j
] = 0;
ζ
2
j
−
k
2
ζ
2
j
−
k
2
+
iω
Pr
A
j
exp [
ζ
j
] = 0;
μζ
j
ζ
2
j
+ (
iω
−
3
k
2
) +
k
2
1
−
F
√
W
k
+
k
2
W
ζ
2
j
−
k
2
+
iω
Pr
A
j
exp [
ζ
j
] = 0
.
(5)
20
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2008. № 3
