В случае малых отклонений от равновесных значений нелинейны-
ми по скорости слагаемыми в уравнениях (1) можно пренебречь, после
чего по аналогии с [2] выбрать единицы измерения:
[
x
] = [
z
] =
h
; [
t
] =
h
2
/
ν
; [
υ
] =
χ
/
h
;
[
p
] =
ρνχ
/
h
2
; [
T
] =
Ah.
Для элементарных волн возмущения скорости, температуры, давле-
ния зависят от времени и горизонтальной координаты как
exp [
i
(
kx
−
ωt
)]
, где
ω
— комплексная частота,
k
— волновое чи-
сло. Тогда в безразмерных переменных математическая формулировка
уравнений задачи и граничных условий имеют вид
∂~υ
∂t
=
−r
p
+ Δ
~υ
+
Ra
T ~e
z
;
Pr
∂T
∂t
−
~υ ~e
z
= Δ
T
;
div
~υ
= 0;
z
= 0 :
υ
x
=
υ
z
= 0
, T
= 0;
z
= 1 :
∂υ
x
∂z
−
ikυ
z
= 0
, υ
z
+
iω
Pr
T
= 0;
μ
(
−
iω
+ 3
k
2
)
∂υ
z
∂z
−
∂
3
υ
z
∂z
3
=
−
k
2
1
−
F
√
W
k
+
k
2
W
T
;
Ra
=
gβAh
4
vχ
,
Pr
=
v
χ
, μ
=
νχ
gh
3
, W
=
ρgh
2
γ
, F
=
4
πσ
2
√
γρg
,
(2)
где Ra — число Рэлея, Pr — число Прандтля.
Решение линеаризованной системы уравнений (2) для синусо-
идальных волн
можно представить в виде бегущей волны с ампли-
тудными функциями по скоростям, давлению и температуре:
υ
x
=
U
(
z
) exp [
i
(
kx
−
ωt
)] ;
υ
z
=
V
(
z
) exp [
i
(
kx
−
ωt
)] ;
p
=
P
(
z
) exp [
i
(
kx
−
ωt
)] ;
T
=
θ
(
z
) exp [
i
(
kx
−
ωt
)]
,
где
U, V, P, θ
— амплитудные функции. Отсюда
U
00
−
(
k
2
−
iω
)
U
−
ikP
= 0;
V
00
−
(
k
2
−
iω
)
V
−
P
0
+
Ra
θ
= 0;
θ
00
−
(
k
2
−
iω
Pr
)
θ
+
V
= 0;
V
0
+
ikU
= 0
.
(3)
Будем искать систему линейно независимых решений уравнений
системы (3) в виде
U
(
z
)
, V
(
z
)
, P
(
z
)
, θ
(
z
) exp[
ζ z
]
.
Общее решение системы (3) для каждой функции есть линейная
комбинация линейно независимых решений. Подстановка приведен-
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2008. № 3
19
