где
G
(
t, τ
)
— ядро преобразования, которое обычно представляется в
виде
G
(
t, τ
) = 2
Dδ
(
t
−
τ
)
.
(3)
Здесь
D
— коэффициент диффузии, который считается постоянным.
Термодинамическая сила
X
для броуновской частицы определяет-
ся по формуле
X
=
P
Mk
B
T
,
(4)
где
M
— масса броуновской частицы;
k
B
— постоянная Больцмана;
T
— температура среды.
Если ядро преобразования
G
(
t, τ
)
в форме (3) подставить в фор-
мулу (2), а затем в уравнение (1), то оно приобретает вид уравнения
Ланжевена [7, 8], которое используют для описания броуновского дви-
жения:
˙
P
+
ηP
=
F
(
t
) +
ξ
(
t
)
.
(5)
Здесь
η
— коэффициент вязкого трения, определяемый по формуле
η
=
D
Mk
B
T
.
(6)
При описании броуновского движения с использованием формулы
(5) коэффициент трения
η
так же, как и коэффициент диффузии
D
, —
величины, не зависящие от времени. По этой причине рассмотренное
традиционное описание броуновского движения с помощью уравне-
ния Ланжевена не позволяет учесть экспериментально наблюдаемый
факт флуктуаций коэффициента вязкого трения, имеющих характер
фликкер-шума.
Отметим также, что процесс
P
(
t
)
, описываемый уравнением (5),
представляет собой марковский случайный процесс, если случайное
воздействие
ξ
(
t
)
есть среднеквадратическая производная процесса с
независимыми приращениями, например винеровского процесса.
Уравнение броуновского движения, учитывающее флуктуации
коэффициента трения.
Для описания броуновского движения с уче-
том флуктуаций коэффициента вязкого трения предположим, что ядро
преобразования
G
(
t, τ
)
является функцией, изменяющейся случайным
образом в зависимости от значений
t
и
τ
. Ядро преобразования
G
(
t, τ
)
в общем случае представимо в виде [6]
G
(
t, τ
) =
h
ξ
1
(
t
−
τ
)
ξ
(
τ
)
i
,
(7)
где
h
. . .
i
— операция нахождения математического ожидания;
ξ
(
τ
)
—
среднеквадратическая производная процесса с независимыми прира-
щениями
W
(
τ
)
;
ξ
1
(
t
−
τ
)
— средняя случайная сила на интервале
4
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2008. № 2
