при действии внешней силы флуктуации импульса броуновской части-
цы приобретают характер фликкер-шума. Аппроксимация для первых
двухсот точек дает зависимость
G
p
(
ω
)
, близкую к гиперболической:
G
p
(
ω
) = 7
∙
10
−
9
ω
−
0
,
912
.
(21)
Таким образом, описание броуновского движения в среде с флук-
туирующим коэффициентом вязкого трения как немарковского слу-
чайного процесса более реалистично, чем традиционное, с использо-
ванием уравнения Ланжевена. При этом флуктуации импульса бро-
уновской частицы содержат не только составляющие, описываемые
белым шумом, но и флуктуации со спектром типа фликкер-шума, воз-
никающие при приложении к частице внешнего детерминированного
воздействия
F
(
t
)
.
Броуновская частица как осциллятор.
Рассмотрим случай, ко-
гда на броуновскую частицу помимо детерминированной силы
F
(
t
)
и
случайного воздействия
ξ
(
t
)
действует возвращающая сила, пропор-
циональная отклонению частицы
Y
(
t
)
от положения равновесия,
F
k
(
t
) =
−
kY
(
t
)
,
(22)
где
k
— коэффициент, характеризующий упругие свойства среды, не
зависящий от времени. В этом случае уравнение Ланжевена (5) имеет
вид
˙
P
+
ηP
+
kY
(
t
) =
F
(
t
) +
ξ
(
t
)
.
(23)
Из уравнения (23) легко может быть найдена спектральная плот-
ность флуктуаций импульса частицы
P
(
t
)
. Для этого применим пре-
образование Лапласа к выражению (23), считая силу
F
(
t
)
равной ну-
лю, а случайную силу
ξ
(
t
)
— белым шумом. Получим
s
ˆ
P
(
s
) +
η
ˆ
P
(
s
) +
k
ˆ
P
(
s
)
Ms
= ˆ
ξ
(
s
)
,
(24)
где
s
— параметр преобразования,
ˆ
P
(
s
)
— изображение функции
P
(
t
)
,
ˆ
ξ
(
s
)
— изображение белого шума. Из выражения (24) находим
ˆ
P
(
s
) =
s
s
2
+
ηs
+
ω
2
0
ˆ
ξ
(
s
)
,
(25)
где
ω
0
=
r
k
M
— собственная частота осциллятора. Учитывая, что
спектральная плотность
G
p
(
ω
) = ˆ
P
(
iω
)
2
,
(26)
а спектральная плотность белого шума, равная его интенсивности, —
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2008. № 2
9
