времени
t
−
τ
, т.е.
ξ
1
(
t
−
τ
) =
W
(
t
−
τ
)
t
−
τ
.
(8)
Дальнейший интерес представляет случай, когда
G
(
t, τ
)
случайным
образом зависит от значений
t
и
τ
, поэтому без учета оператора нахо-
ждения математического ожидания вместо (7) имеем
G
(
t, τ
) =
W
(
t
−
τ
)
t
−
τ
dW
(
τ
)
dτ
,
(9)
где
W
(
t
)
— процесс с независимыми приращениями, который связан
со случайным воздействием
ξ
(
t
)
интегралом Ито:
W
(
t
) =
t
Z
0
ξ
(
τ
)
dτ .
(10)
В этом случае выражение (2), связывающее поток
J
с силой
X
, при-
нимает вид
J
(
t
) =
t
Z
0
W
(
t
−
τ
)
t
−
τ
dW
(
τ
)
dτ
X
(
τ
)
dτ .
(11)
Подстановка этой формулы в выражение (1) позволяет вместо урав-
нения Ланжевена (5) получить следующее уравнение для описания
броуновского движения:
˙
P
+
t
Z
0
W
(
t
−
τ
)
t
−
τ
dW
(
τ
)
dτ
P
(
τ
)
Mk
B
T
dτ
=
F
(
t
) +
ξ
(
t
)
,
(12)
учитывающее флуктуации коэффициента трения броуновской час-
тицы.
Случайный процесс
P
(
t
)
, описываемый стохастическим инте-
гральным уравнением (12), является немарковским процессом, и для
определения его статистических характеристик неприменима теория
стохастических дифференциальных систем [8]. Из-за случайного ха-
рактера изменения импульса
P
(
τ
)
для такого уравнения неприменима
и теория линейных немарковских процессов [9] и требуется численное
моделирование.
Спектральная плотность флуктуаций кинетических коэффи-
циентов.
Рассмотрим случай, когда термодинамическая сила
X
пред-
ставляет собой постоянную величину:
X
=
const. Тогда соотношение
(2) может быть записано в виде
J
(
t
) =
γ
(
t
)
X,
(13)
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2008. № 2
5
