То, что это всегда можно сделать, показано в работе [9]. Функция
u
4
тождественно равна нулю, а
u
2
и
u
3
будем искать в виде рядов
(
u
2
=
C
(1)
2
x
1
+
C
(2)
2
x
2
1
+
. . . ,
u
3
=
C
(1)
3
x
1
+
C
(2)
3
x
2
1
+
. . . .
Согласно теореме [9], нас интересует лишь младший член в разло-
жении функции
X
(0)
, поэтому ограничимся лишь линейными слагае-
мыми:
(
u
2
=
C
(1)
2
x
1
,
u
3
=
C
(1)
3
x
1
.
(16)
Если окажется, что этого недостаточно, то придется учитывать сла-
гаемые более высокого порядка. Подставляем (16) в (15) и приравни-
ваем коэффициенты при одинаковых степенях:
(
(
p
−
2)(
a
1
+
a
2
)
C
(1)
2
+ (3
ba
1
+ (
p
−
2)
a
3
)
C
(1)
3
=
p
−
2
,
(
p
−
3)(
a
1
+
a
2
)
C
(1)
2
+ (4
ba
1
+ (
p
−
3)
a
3
)
C
(1)
3
=
p
−
3
.
(17)
Определитель системы (17) равен
(
a
1
+
a
2
)
ba
1
(
p
+ 1)
. Складывая
два последних уравнения системы (13), получаем
a
1
+
a
2
=
b
(
a
3
−
a
4
)
.
Ранее было показано, что при любом ненулевом решении системы (13)
a
1
6
= 0
и
a
3
6
=
a
4
. Таким образом определитель системы (17) всегда
отличен от нуля и, следовательно, она имеет ненулевое решение
C
(1)
2
=
1
a
1
+
a
2
, C
(1)
3
= 0
.
Сделаем замену переменных:
x
2
=
ξ
2
+
C
(1)
2
x
1
, x
3
=
ξ
3
, x
4
=
ξ
4
.
Система (14) принимает вид:
x
0
1
=
a
3
X
3
x
1
, ξ
2
+
C
(1)
2
x
1
, ξ
3
, ξ
4
+
a
4
X
4
x
1
, ξ
2
+
C
(1)
2
x
1
, ξ
3
, ξ
4
,
ξ
0
2
=
ξ
4
−
−
C
(1)
2
a
3
X
3
x
1
, ξ
2
+
C
(1)
2
x
1
, ξ
3
, ξ
4
+
a
4
X
4
x
1
, ξ
2
+
C
(1)
2
x
1
, ξ
3
, ξ
4
,
ξ
0
3
= 2
−
p
−
(
p
−
2)
a
2
a
1
ξ
2
+
−
3
b
−
(
p
−
2)
a
3
a
1
ξ
3
+ 2
b
−
(
p
−
2)
a
4
a
1
ξ
4
+
+
X
3
x
1
, ξ
2
+
C
(1)
2
x
1
, ξ
3
, ξ
4
−
X
3
x
1
, C
(1)
2
x
1
,
0
,
0
,
ξ
0
4
=
p
−
3
−
(3
−
p
)
a
2
a
1
ξ
2
+ 4
b
−
(3
−
p
)
a
3
a
1
ξ
3
+
−
3
b
−
(3
−
p
)
a
4
a
1
ξ
4
+
+
X
4
x
1
, ξ
2
+
C
(1)
2
, ξ
3
, ξ
4
−
X
4
x
1
, C
(1)
2
x
1
,
0
,
0
.
(18)
96
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2008. № 1
