Рис. 2. Зависимость критической си-
лы
˜
p
от коэффициента
b
вязкости в шарнирах, что исследо-
вано в работе [8]. Как будет показа-
но далее, дестабилизация наблюда-
ется только при переходе от модели
без вязкости к модели с вязкостью.
Выясним, как наличие консер-
вативной нагрузки влияет на па-
радокс дестабилизации. Для это-
го рассмотрим уравнения первого
приближения (7) при условии ра-
венства нулю коэффициента
b
:
(
ϕ
00
1
= (
p
+
f
−
3)
ϕ
1
+ (2
−
p
)
ϕ
2
,
ϕ
00
2
= (4
−
p
−
f
)
ϕ
1
+ (
p
−
3)
ϕ
2
.
(9)
Характеристическое уравнение
λ
4
+ (6
−
2
p
−
f
)
λ
2
+ (1
−
f
) = 0
должно иметь две пары чисто мнимых корней, для этого должны вы-
полняться следующие условия:
6
−
2
p
−
f >
0
,
1
−
f >
0
,
D
= (6
−
2
p
−
f
)
2
−
4(1
−
f
)
>
0
.
Отсюда получаем условия устойчивости системы (9)
f <
1
,
p <
3
−
f
2
− √
1
−
f .
Критическое значение следящей силы в этом случае обозначим как
p
= 3
−
f
2
− √
1
−
f
. Предельное значение критической силы
˜
p
равно
˜
p
lim
= lim
b
→
0
˜
p
=
1
12
−
6
f
5
2
f
2
−
4
f
+ 16
. Графики зависимостей этих
критических сил от силы
f
показаны на рис. 3.
Видно, что происходит потеря устойчивости в случае наличия вяз-
кости при всех значениях консервативной силы
f
кроме одного. При
f
≈
0
,
971
критические значения совпадают:
p
= ˜
p
lim
. Таким образом,
если
f
≈
0
,
971
, то парадокса дестабилизации не наблюдается.
Для каждого значения консервативной силы
f
есть такое значе-
ние коэффициента
b
(обозначим его
˜
b
), при котором величины
˜
p
и
p
совпадают. График зависимости
˜
b
от
f
показан на рис. 4.
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2008. № 1
91
