ем нагрузки выше значения несколько меньшего, чем
p
. При стрем-
лении
b
к нулю, Re
λ
также стремится к нулю при любых
p < p
.
Теорема о критическом случае.
Для дальнейшего исследования
воспользуемся следующей теоремой, приведенной в работе [9].
Теорема.
Пусть дана система
(
x
0
=
X
(
x, x
1
, . . . , x
n
)
,
x
0
s
=
p
s
1
x
1
+
. . .
+
p
sn
x
n
+
p
s
x
+
X
s
(
x, x
1
, . . . , x
n
)
, s
= 1
,
2
, . . . , n,
(10)
где
X
и
X
s
— слагаемые не ниже второго порядка. Характеристическое
уравнение, составленное для линейных членов последних
n
уравне-
ний, имеет только корни с отрицательными вещественными частями.
Введем следующие обозначения:
(
X
(0)
(
x
)=
X
(
x,
0
, . . . ,
0) =
gx
m
+
g
(
m
+1)
x
m
+1
+
. . . ,
X
(0)
s
(
x
)=
X
s
(
x,
0
, . . . ,
0) =
g
s
x
m
s
+
g
(
m
s
+1)
s
x
m
s
+1
+
. . . , s
= 1
,
2
, . . . , n,
где
g, g
(
m
+1)
, g
s
, g
(
m
s
+1)
s
— постоянные.
Пусть выполнены условия:
X
(0)
(
x
)
не обращается тождественно в
нуль; все величины
p
s
в уравнениях (10) равны нулю;
m
s
≥
m
.
При этих предположения задача устойчивости нулевого положения
равновесия системы (10) решается следующим образом: положение
равновесия всегда неустойчиво, если
m
— число четное. Если
m
—
число нечетное, то при
g >
0
положение равновесия неустойчиво, а
при
g <
0
оно асимптотически устойчиво.
Исследование критического случая устойчивости одного ну-
левого корня.
Как было показано выше, условием асимптотической
устойчивости системы (6) при наличии вязкости является выполнение
неравенств
f <
1
и
p <
˜
p
. Если принять
f
= 1
, то получаем
f
= 1
,
p <
1
2
b
2
+
29
12
.
(11)
При выполнении условий (11) характеристическое уравнение (8)
имеет один нулевой корень и три корня с отрицательными действи-
тельными частями. Для исследования устойчивости в этом случае не-
обходимо рассматривать задачу в нелинейной постановке.
Систему (6) приводим к безразмерному виду, полагаем
f
= 1
,
принимаем обозначения
z
1
=
ϕ
1
,
z
2
=
ϕ
2
,
z
3
=
ϕ
0
1
,
z
4
=
ϕ
0
2
, а так-
же раскладываем нелинейные слагаемые в ряды до третьего порядка.
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2008. № 1
93
