МЕХАНИКА
УДК 531.53
В. Е. П а л о ш
УСТОЙЧИВОСТЬ ДВОЙНОГО МАЯТНИКА
С ВЯЗКОУПРУГИМИ ЭЛЕМЕНТАМИ,
НАГРУЖЕННОГО СЛЕДЯЩЕЙ
И КОНСЕРВАТИВНОЙ СИЛАМИ
Рассмотрен маятник Циглера с вязкоупругими шарнирами, до-
полнительно нагруженный консервативной силой. Решена задача
устойчивости положения равновесия в линейной постановке. По-
казана дестабилизация равновесия системы малыми диссипатив-
ными силами. Найдено значение консервативной силы, при кото-
ром дестабилизации не происходит. Исследовано поведение дей-
ствительных частей корней характеристического уравнения в за-
висимости от значений действующих на систему сил. Рассмотрен
критический случай устойчивости одного нулевого корня.
Введение.
В 1952 г. Ганс Циглер [1] рассмотрел колебания двойно-
го маятника, состоящего из двух невесомых стержней равной длины
и нагруженного на конце следящей силой. Предполагалось, что массы
сосредоточены в узлах, шарниры обладают линейной жесткостью с
коэффициентом
A
и линейным демпфированием с коэффициентом
B
.
При анализе устойчивости равновесия, был получен следующий
результат: критическая нагрузка при исчезающе малом демпфирова-
нии оказалась меньше, чем критическая нагрузка, вычисленная при
отсутствии демпфирования. Это явление получило название парадок-
са дестабилизации.
В работе [2] рассмотрен маятник Циглера с различными коэффи-
циентами демпфирования. Сделан вывод, что в этом случае также на-
блюдается парадокс дестабилизации, а устойчивость положения рав-
новесия зависит от отношения коэффициентов демпфирования. Од-
нако, как отмечается в статье [3], при стремлении параметров дис-
сипации к нулю критическая сила как функция двух переменных не
имеет предела. Поэтому критическая нагрузка при бесконечно малых
диссипативных силах является неопределенной.
Парадокс дестабилизации сохраняется и при нелинейных законах
трения. В работе [4] предполагается, что силы трения в обоих шарни-
рах подчиняются следующему закону:
K
D
(
x,
˙
x
) =
Ax
2
˙
x
+
B
˙
x
3
. Задача
решается с помощью построения функции Ляпунова. В итоге выясне-
но, что парадоксальное поведение критической нагрузки не исчезает
при рассмотрении нелинейных законов демпфирования.
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2008. № 1
87
