ϕ
00
1
= (
p
+
f
−
3)
ϕ
1
+ (2
−
p
)
ϕ
2
−
3
bϕ
0
1
+ 2
bϕ
0
2
−
ϕ
0
2
1
+
ϕ
0
2
2
(
ϕ
1
−
ϕ
2
)+
+
b
2
(7
ϕ
0
1
−
5
ϕ
0
2
)(
ϕ
1
−
ϕ
2
)
2
+
1
6
(3
−
p
)(
ϕ
1
−
ϕ
2
)
3
−
−
(
p
+
f
−
3)
ϕ
1
(
ϕ
1
−
ϕ
2
)
2
−
(2
−
p
)
ϕ
2
(
ϕ
1
−
ϕ
2
)
2
−
f
6
ϕ
3
1
+
. . . ,
ϕ
00
2
= (4
−
p
−
f
)
ϕ
1
+ (
p
−
3)
ϕ
2
+ 4
bϕ
0
1
−
3
bϕ
0
2
+ 2
ϕ
0
2
1
+
ϕ
0
2
2
(
ϕ
1
−
ϕ
2
)+
+
b
−
5
ϕ
0
1
+
7
2
ϕ
0
2
(
ϕ
1
−
ϕ
2
)
2
+
5
3
p
+
f
−
5
ϕ
1
(
ϕ
1
−
ϕ
2
)
2
+
+
7
2
−
5
3
p ϕ
2
(
ϕ
1
−
ϕ
2
)
2
+
f
12
ϕ
3
2
+ (2
ϕ
1
−
ϕ
2
)
3
+
. . . ,
где введены следующие безразмерные параметры:
p
=
P l
A
,
f
=
F l
A
,
b
=
B
√
Aml
2
; штрих в уравнениях обозначает производную по
τ
, а
многоточие – совокупность членов не ниже пятого порядка.
Исследование устойчивости в первом приближении.
Уравнения
первого приближения имеют вид
(
ϕ
00
1
=
−
3
bϕ
0
1
+ 2
bϕ
0
2
+ (
p
+
f
−
3)
ϕ
1
+ (2
−
p
)
ϕ
2
,
ϕ
00
2
= 4
bϕ
0
1
−
3
bϕ
0
2
+ (4
−
p
−
f
)
ϕ
1
+ (
p
−
3)
ϕ
2
.
(7)
Запишем характеристическое уравнение для этой системы:
λ
4
+ 6
bλ
3
+ 6
−
2
p
−
f
+
b
2
λ
2
+ (2
−
f
)
bλ
+ (1
−
f
) = 0
.
(8)
С помощью критерия Рауса–Гурвица условия асимптотической
устойчивости системы (7) сводятся к неравенствам
f <
1
,
p <
1
12
−
6
f
6
b
2
−
3
b
2
f
+
5
2
f
2
−
4
f
+ 16
.
Обозначим критическое значение следящей силы как
˜
p
=
1
12
−
6
f
6
b
2
−
3
b
2
f
+
5
2
f
2
−
4
f
+ 16
.
При
p
= ˜
p
характеристическое уравнение имеет пару чисто мнимых
корней и два корня с отрицательными действительными частями.
Зависимость критической силы
˜
p
от коэффициента
b
при некоторых
значениях силы
f
показана на рис. 2. Видно, что наличие консерва-
тивной силы приводит к увеличению критической нагрузки. Кроме
того, значение критической силы возрастает с увеличением коэфи-
циента
b
. То есть, не возникает того эффекта, когда с увеличением
вязкости значение критической силы начинает уменьшаться. Данный
эффект присутствует в маятнике Циглера с разными коэффициентами
90
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2008. № 1
