Положение маятника определяется двумя углами:
ϕ
1
и
ϕ
2
. Выберем
их в качестве обобщенных координат. Уравнения движения маятника
имеют вид
d
dt
∂L
∂
˙
ϕ
i
−
∂L
∂ϕ
i
=
Q
i
−
∂
Φ
∂
˙
ϕ
i
, i
= 1
,
2
,
(1)
где функция Лагранжа
L
=
T
−
Π
; кинетическая энергия
T
=
1
2
ml
2
2 ˙
ϕ
2
1
+ ˙
ϕ
2
2
+ 2 ˙
ϕ
1
˙
ϕ
2
cos(
ϕ
1
−
ϕ
2
) ;
(2)
потенциальная энергия
Π =
1
2
Aϕ
2
1
+
1
2
A
(
ϕ
2
−
ϕ
1
)
2
+
F l
(cos
ϕ
1
−
1)
.
(3)
Обобщенная сила
Q
i
, соответствующая
i
-й координате, для
i
= 1
,
2
равна:
Q
1
=
P l
sin(
ϕ
1
−
ϕ
2
)
, Q
2
= 0
.
(4)
Диссипативная функция Релея
Φ
имеет вид
Φ =
1
2
B
˙
ϕ
2
1
+
1
2
B
( ˙
ϕ
2
−
˙
ϕ
1
)
2
.
(5)
Подставляя соотношения (2)—(5) в формулу (1), получаем уравне-
ния движения маятника
2
ml
2
¨
ϕ
1
+
ml
2
¨
ϕ
2
cos(
ϕ
1
−
ϕ
2
) +
ml
2
˙
ϕ
2
2
sin(
ϕ
1
−
ϕ
2
) =
=
A
(
ϕ
2
−
2
ϕ
1
) +
B
( ˙
ϕ
2
−
2 ˙
ϕ
1
)+
+
P l
sin(
ϕ
1
−
ϕ
2
) +
F l
sin
ϕ
1
,
ml
2
¨
ϕ
1
cos(
ϕ
1
−
ϕ
2
) +
ml
2
¨
ϕ
2
−
ml
2
˙
ϕ
2
1
sin(
ϕ
1
−
ϕ
2
) =
=
−
A
(
ϕ
2
−
ϕ
1
)
−
B
( ˙
ϕ
2
−
˙
ϕ
1
)
.
(6)
Система, описываемая уравнениями (6), имеет положение равнове-
сия
ϕ
1
=
ϕ
2
= 0
,
˙
ϕ
1
= ˙
ϕ
2
= 0
, устойчивость которого и исследуется.
C помощью подстановки
τ
=
t
r
A
ml
2
уравнения движения (6) сво-
дятся к безразмерному виду. Раскладываем нелинейные слагаемые в
ряды. Отметим, что разложения нелинейных слагаемых в окрестно-
сти нулевого положения равновесия содержат только члены нечeтных
степеней. Получаем следующую систему:
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2008. № 1
89
