Нетрудно заметить, что гиперплоскость
M
0
= {
X
1
,
X
2
|
X
1
=
X
2
}
(диагональ) является интегральным многообразием в фазовом про-
странстве системы (1). Это многообразие разбивается на траектории
фазовыми траекториями системы (2). Таким образом, если многообра-
зие оказывается устойчивым, то все фазовые траектории системы (1)
(с начальными условиями из некоторой окрестности многообразия)
притягиваются диагональю и, следовательно, аттрактором
A
0
. Други-
ми словами,
X
1
→
X
2
при
t
→ ∞
, т.е. с течением времени в свя-
занной системе (1) устанавливается изохронный режим синхрониза-
ции хаотических автоколебаний осцилляторов с тождественным ра-
венством соответственных переменных. Режим синхронизации явля-
ется устойчивым, в общем случае локально, при выполнении нера-
венства
ε > ε (λ
max
)
, где
ε
— некоторое значение параметра связи,
зависящее, как от максимального ляпуновского показателя аттрактора
A
0
, так и конкретной структуры связей осцилляторов — матрицы
C
. В
частности, если
C
=
I
, то
ε
=
λ
max
/
2
[10]. Если система (2) является
диссипативной [20] с единственным аттрактором
A
0
, то по мере воз-
растания значения параметра связи локальная устойчивость режима
хаотической синхронизации переходит в глобальную [16].
Определение синхронизации
. Пусть
˙
X
1
=
F
1
(
X
1
)
,
˙
X
2
=
F
2
(
X
2
)
,
X
1
2
R
n
,
X
2
2
R
m
— динамические системы двух осцилляторов. Пред-
положим, что каждая из этих систем имеет аттрактор (соответственно
A
1
и
A
2
). Рассмотрим связанную систему вида
˙
X
1
=
F
1
(
X
1
)
+
ε
f
1
(
X
1
,
X
2
)
;
˙
X
2
=
F
2
(
X
2
)
+
ε
f
2
(
X
1
,
X
2
) .
Будем говорить, что имеет место синхронизация осцилляторов (в
частности, хаотическая) для значений параметра связи из интервала
ε
1
< ε < ε
2
, если для этих значений
ε
существует аттрактор
A
ε
, такой,
что:
1) его образы
π
1
(
A
ε
)
и
π
2
(
A
ε
)
в проекциях на “парциальные” про-
странства переводятся один в другой с помощью взаимно-однозначного,
взаимно непрерывного отображения, т.е. гомеоморфны (
π
1
и
π
2
—
естественные проекции на подпространства
X
1
и
X
2
)
;
2) существует гомеоморфное отображение
g
:
π
1
(
A
ε
)
→
π
2
(
A
ε
)
со следующими свойствами: а)
g
— липшиц-непрерывно на
π
1
(
A
ε
)
;
б) для любой траектории
T
t
(
X
1
,
X
2
)
A
ε
, где
T
t
— отображе-
ние сдвига по траекториям связанной системы,
g
π
1
T
t
(
X
1
,
X
2
)
=
=
ππ
2
T
t
+
α(
t
)
(
X
1
,
X
2
)
, причем
lim
t
→∞
t
+
α (
t
)
t
=
r
— число вращения
(рациональное число).
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2007. № 4
79
