Многообразие
M
μ
разбивается на траектории фазовыми траекто-
риями некоторой динамической системы (с аттрактором
A
μ
), совпада-
ющей с динамической системой (2) при
μ
=
0
. Ищем параметрическое
представление многообразия
M
μ
в виде степенных рядов по малому
параметру:
X
1
=
X
+
μ
X
11
(
X
)
+
μ
2
X
12
(
X
)
+
. . . ,
X
2
=
X
+
μ
X
21
(
X
)
+
μ
2
X
22
(
X
)
+
. . . .
(6)
При этом предполагаем, что многообразие
M
μ
разбивается на траек-
тории фазовыми траекториями динамической системы вида
˙
X
=
F
(
X
)
+
μ
F
(
X
)
+
μ
2
F
(
X
)
+
. . . .
(7)
Если функции
F
(
X
)
,
F
(
X
) , . . .
,
X
11
(
X
)
,
X
21
(
X
) , . . .
некоторым
образом найдены, то уравнения (6) определяют (параметрически) ис-
комое отображение фазовых портретов осцилляторов по траекториям
аттрактора
A
μ
динамической системы (7). Выбирать функции из пра-
вой части уравнения (7) будем так, чтобы уравнения, определяющие
функции замены (6), имели ограниченное решение.
Выполняем разложения функций
F
(
X
i
)
и
F
i
(
X
i
)
,
i
=
1
,
2
в сте-
пенные ряды по малому параметру:
F
(
X
+
μ
X
i
1
(
X
)
+
. . .)
=
F
(
X
)
+
μ
F
0
X
i
1
+
. . .
;
F
i
(
X
+
μ
X
i
1
(
X
)
+
. . .)
=
F
i
(
X
)
+
. . . .
Подставляем соотношения (6) в систему (4). Учитывая вид уравнения
(7) и приравнивая члены одинаковых порядков по малому параме-
тру, получаем систему уравнений, определяющих искомые функции.
В частности, уравнения для функций первого приближения имеют вид
F
+
˙
X
11
=
F
0
X
11
−
ε
C
(
X
11
−
X
21
)
+
F
1
;
F
+
˙
X
21
=
F
0
X
21
+
ε
C
(
X
11
−
X
21
)
+
F
2
.
Здесь и далее выражение
F
0
(
X
)
≡
∂
F
∂
X
представляет матрицу Якоби
порождающего уравнения (7), записанную относительно некоторого
его решения. Следующим шагом является выбор функций
F
,
X
11
,
X
21
.
Заметим, что относительно переменной
U
=
X
11
+
X
21
имеет место
уравнение вида
2
F
+
˙
U
=
F
0
U
+
F
1
+
F
2
.
(8)
Выберем функцию
F
в виде
F
=
F
1
+
F
2
/
2 +
ε
CU
. При этом
уравнение (8) примет вид
˙
U
=
F
0
U
−
2
ε
CU
. Оно совпадает с порожда-
ющим уравнением (5) и имеет тот же самый смысл. При выполнении
82
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2007. № 4
