Подставляя эти выражения в уравнение (10) и проводя преобразова-
ния, получаем уравнение, определяющее вектор возмущений
F
:
α
0
−
x z
x y
+ 2
εα
c
1
x
c
2
y
c
3
z
+ 2
ε 1
−
c
1
σ (
x
−
y
)
c
2
(
−
y
+
r x
−
x z
)
c
3
(
−
bz
+
x y
)
=
F
.
Из условия минимальности числа связей полагаем, что
c
1
=
0
. Кро-
ме того, если (добавочно) потребовать линейность возмущений, то
получаем налагаемые на параметры условия:
α
+ 2
ε1
c
2
=
0
;
α
+
+
2
ε1
c
3
=
0
. В итоге находим искомый вектор возмущений вида
F
=
(
0
, λ
1
x
+
λ
2
y
, λ
3
z
)
T
,
λ
1
= −
α
,
λ
2
= −
α
r
,
λ
3
=
(1
b
−
α) α/1
.
Таким образом, при линейных возмущениях второго и третьего урав-
нений систем Лоренца (достаточно в одной из систем) получаем, что
в режиме синхронизации (с точностью
μ
2
) переменные осцилляторов
связаны следующими уравнениями:
x
1
=
x
+
μ (α
x
+
1
˙
x
)
;
x
2
=
x
−
μ (α
x
+
1
˙
x
)
;
y
1
=
y
+
μ (α
y
+
1
˙
y
)
;
y
2
=
y
−
μ (α
y
+
1
˙
y
)
;
z
1
=
z
+
μ (α
z
+
1
˙
z
)
;
z
2
=
z
−
μ (α
z
+
1
˙
z
) .
Исключая параметры
x
,
y
,
z
из полученных уравнений, получаем яв-
ную (с точностью
μ
2
) связь переменных осцилляторов в режиме син-
хронизации:
x
1
(
t
)
=
(
1 + 2
μα)
x
2
(
t
+ 2
μ1)
;
y
1
(
t
)
=
(
1 + 2
μα)
y
2
(
t
+ 2
μ1)
;
z
1
(
t
)
=
(
1 + 2
μα)
z
2
(
t
+ 2
μ1) .
Таким образом, в данном случае имеет место отображение равно-
мерного сжатия (растяжения) одного “парциального” фазового пор-
трета осциллятора на другой, действующее при постоянном сдвиге
α (
t
)
=
2
μ1
, по траекториям аттрактора
A
μ
осциллятора Лоренца
со среднеарифметическими значениями параметров. Рассмотренный
тип возмущения параметров приводит к возмущению амплитуды и
фазы хаотических колебаний одного осциллятора по отношению к
другому.
Замечание 1
. Предлагаемая теория рассматривается скорее как ка-
чественная, а не как теория инженерных расчетов. Интерес предста-
вляют качественные изменения режимов синхронизации при изме-
нении параметров систем, а не их количественные характеристики.
Поэтому принимаются во внимание только первые приближения по
малому параметру как содержащие информацию о значимых, каче-
ственных изменениях.
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2007. № 4
85
