что в фазовом пространстве связанной системы существует шар дис-
сипации и все ее решения являются ограниченными при
t
→ ∞
[3].
Также будем считать, что функции
F
1
,
2
(
X
)
непрерывны и обладают
достаточной гладкостью по всем переменным и параметрам.
Слабо неидентичные осцилляторы
. Допустим, что
F
1
(
X
1
)
=
=
F
(
X
1
)
+
μ
F
1
(
X
1
)
,
F
2
(
X
2
)
=
F
(
X
2
)
+
μ
F
2
(
X
2
)
, где
μ
— неко-
торый малый параметр, связанный с неидентичностью параметров
осцилляторов. В таком случае система (3) принимает вид
˙
X
1
=
F
(
X
1
)
−
ε
C
(
X
1
−
X
2
)
+
μ
F
1
(
X
1
, μ)
;
˙
X
2
=
F
(
X
2
)
+
ε
C
(
X
1
−
X
2
)
+
μ
F
2
(
X
2
, μ) .
(4)
Если
μ
=
0
, то система (4) является связанной системой двух
идентичных осцилляторов (1) — порождающей системой с порожда-
ющим интегральным многообразием
M
0
= {
X
1
,
X
2
|
X
1
=
X
2
}
. Введем
в системе (4) переменную
U
=
X
1
−
X
2
и рассмотрим уравнение вида
˙
U
=
F
0
(ξ (
t
))
−
2
ε
C U
+
μ
F
(
X
2
(
t
) ,
U
, μ) .
(5)
Здесь
F
0
( . )
— матрица Якоби для функции
F
(
X
)
,
F
=
F
1
−
F
2
.
При переходе от системы (4) к уравнению (5) использована теорема
Лагранжа,
ξ (
t
)
2
[
X
1
,
X
2
]
.
Если
ξ (
t
)
2
M
0
, то уравнение (5) при
μ
=
0
— уравнение в вари-
ациях относительно порождающего многообразия
M
0
, а при
μ
=
0
,
ε
=
0
,
ξ (
t
)
2
A
0
2
M
0
— уравнение в вариациях для уравнения
(2). Максимальный ляпуновский показатель решений последнего ра-
вен
λ
max
. Допустим, что матрица связей
C
выбрана так, что тривиаль-
ное решение
U
=
0
уравнения (5) устойчиво при
ε > ε
и
μ
=
0
(такой
выбор всегда возможен: если
C
=
I
, то
ε
=
λ
max
/
2
)
, т.е. все характе-
ристические показатели решений порождающего уравнения (5) строго
отрицательны. В данных условиях уравнение (5) представляет собой
квазилинейное уравнение с ограниченными возмущениями (некрити-
ческий случай). Такое уравнение для значений параметра
μ
2
0
, μ )
имеет устойчивое, гладкое и единственное интегральное многообра-
зие вида
U
=
μ
U
(
X
2
(
t
) ,
U
, μ)
[17–20]. Аналогично сказанному для
системы (4), получаем, что она имеет устойчивое и единственное мно-
гообразие
M
μ
= {
X
1
,
X
2
|
X
1
=
X
2
+
μ
X
(
X
2
, μ)
}
, совпадающее с мно-
гообразием порождающей системы при
μ
=
0
. Характер устойчивости
многообразия
M
μ
тот же самый, что и у
M
0
. Отметим, что существова-
ние устойчивого взаимно-однозначного многообразия
M
μ
, гарантиро-
ванное теоремами [17–20], эквивалентно существованию устойчивой
хаотической синхронизации в системе (4). Таким образом, п. 1 поста-
новки задачи (о существовании и устойчивости режима синхрониза-
ции) выполнен. Считаем, что осцилляторы в связанной системе (4)
синхронизованы.
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2007. № 4
81
