Соответственно, для функции
X
11
имеем следующее выражение:
X
11
=
1
4
(
F
1
−
F
2
)
=
α
1
−
α
2
2
(α
1
+
α
2
)
F
=
1
F
=
1
˙
x
. Покажем, что такое
же выражение имеет и функция
Y
11
, т.е.
Y
11
=
1
˙
y
. Действитель-
но, принимая во внимание, что
Φ
=
By
+
b
x
,
∂Φ
∂
y
=
B
,
∂Φ
∂
x
=
b
,
Φ
1
=
Φ
2
=
0
, и подставляя выражение
Y
11
=
1
˙
y
во второе уравне-
ние системы (16), получаем уравнение вида
1
¨
y
=
1
B
˙
y
+
1
b
˙
x
, или
˙
y
=
By
+
b
x
, что является вторым уравнением системы (17).
Таким образом, в данном случае имеет место фазовая синхрони-
зация хаотических колебаний осцилляторов с разностью фаз, равной
φ
0
=
(α
1
−
α
2
) /ε (α
1
+
α
2
)
.
Пример 2.
Рассмотрим синхронизацию хаотических автоколеба-
ний двух осцилляторов Чуа (численный эксперимент). Связанная ди-
намическая система представляется уравнениями вида
˙
x
1
=
α
1
(
y
1
−
h
(
x
1
))
−
ε (
x
1
−
x
2
)
;
˙
y
1
=
x
1
−
y
1
+
z
1
;
˙
z
1
= −
β
y
1
−
γ
z
1
;
˙
x
2
=
α
2
(
y
2
−
h
(
x
2
))
+
ε (
x
1
−
x
2
)
;
˙
y
2
=
x
2
−
y
2
+
z
2
;
˙
z
2
= −
β
y
2
−
γ
z
2
,
где
h
(
x
)
=
m
1
x
+
1
2
(
m
2
−
m
1
) (
|
x
+ 1
| − |
x
−
1
|
) .
Численный эксперимент проводился при следующих значениях па-
раметров:
{
α
1
, α
2
, β, γ ,
m
2
,
m
1
, ε
} =
14
;
4
;
14
;
0
,
1
; −
1
7
;
2
7
,
2
. Проек-
ции аттрактора
A
μ
на координатные плоскости осцилляторов и реали-
зации соответственных переменных, иллюстрирующие фазовый сдвиг
приведены на рис. 1. Заметим, в проводимом эксперименте параметр
μ
=
ε
−
1
=
1
/
2
не является малым. Однако остается в силе полу-
ченный вывод о свойствах синхронизации (известное “чудо” малого
параметра), а также то, что аттрактор
A
μ
связанной системы по своим
свойствам близок к аттрактору одиночного осциллятора с параметром
α
=
(α
1
+
α
2
) /
2
=
9
.
Отметим также, что данная система не является
гладкой, однако результаты теории остаются в силе.
Принудительная хаотическая синхронизация неидентичных
осцилляторов.
Принудительная синхронизация более проста для
асимптотического исследования. В этом случае динамическая систе-
ма на интегральном многообразии является заданной (динамическая
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2007. № 4
89
