неравенства
ε > ε (λ
max
)
тривиальное решение
U
=
0
полученного
уравнения является устойчивым, а уравнения для функций
X
11
и
X
21
имеют вид
X
21
= −
X
11
;
˙
X
11
=
F
0
X
11
−
2
ε
CX
11
+
F
1
−
F
2
/
2
.
(9)
Второму уравнению системы (9) соответствует следующее уравнение
в частных производных:
∂
X
11
∂
X
F
−
∂
F
∂
X
X
11
+ 2
ε
CX
11
=
F
1
−
F
2
/
2
.
(10)
Отметим, что любое решение уравнения (9) является ограничен-
ным в силу устойчивости тривиального решения соответствующе-
го однородного уравнения и ограниченности правой части
F
=
=
F
1
−
F
2
/
2
.
Пусть
X
11
=
X
11
(
X
)
— некоторое решение уравнения (10). В та-
ком случае формулы
X
1
=
X
+
μ
X
11
(
X
)
,
X
2
=
X
−
μ
X
11
(
X
)
(точность
μ
2
)
определяют параметрическую связь переменных в режиме син-
хронизации — отображение фазовых портретов. При этом свойства и
параметры синхронного хаотического режима (спектр, размерность и
др.) определяются (с точностью
μ
2
)
свойствами аттрактора
A
μ
“сред-
неарифметического” осциллятора вида
˙
X
=
(
F
1
(
X
)
+
F
2
(
X
)) /
2
.
Таким образом, окончательное решение задачи сводится к реше-
нию квазилинейного уравнения (10). В общем случае этот процесс
достаточно трудоемкий, решать уравнение (10) имеет смысл для кон-
кретных систем и конкретных типов возмущений. Укажем одно из
таких решений, имеющее отношение к приложениям. Пусть вектор
F
=
F
1
−
F
2
/
2
коллинеарен вектору
F
, т.е.
F
=
ν
F
, где
ν
—
число. Пусть, для простоты,
C
=
I
. В таком случае функция
X
11
=
1
∙
∙
F
(
X
)
, где
1
=
ν/
2
ε
, — решение уравнения (10), в чем можно убе-
диться непосредственной подстановкой. Покажем, что это решение
является устойчивым. Сделаем в уравнении (9) замену переменных
вида
X
11
=
1
˙
X
+
η
,
˙
X
=
F
. В результате замены получаем следующее
уравнение
1
¨
X
+
˙
η
=
F
0
1
˙
X
+
F
0
η
−
2
ε1
˙
X
−
2
εη
+ 2
ε1
F
.
Учитывая, что
¨
X
≡
F
0
˙
X
, относительно
η
получаем уравнение вида
˙
ηη
=
F
0
ηη
−
2
εηη
. Тривиальное решение
η
=
0
этого уравнения устой-
чиво при выполнении неравенства
ε > λ
max
/
2
. Связь переменных
осцилляторов в режиме синхронизации описывается соотношениями
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2007. № 4
83
