Сильно неидентичные системы, содержащие сильные связи.
До-
пустим, что
k
уравнений связанной системы (3) содержат сильную
связь, а
m
−
k
уравнений не содержат таковой. Выделяя в группы те и
другие уравнения, рассматриваем связанную систему вида
˙
X
1
=
F
1
(
X
1
,
Y
1
)
−
ε
C
(
X
1
−
X
2
)
;
˙
Y
1
=
ΦΦ (
X
1
,
Y
1
)
−
D
(
Y
1
−
Y
2
)
+
μΦ
1
(
X
1
,
Y
1
)
;
˙
X
2
=
F
2
(
X
2
,
Y
2
)
+
ε
C
(
X
1
−
X
2
)
;
˙
Y
2
=
ΦΦ (
X
2
,
Y
2
)
+
D
(
Y
1
−
Y
2
)
+
μΦ
2
(
X
2
,
Y
2
) .
(11)
Здесь
X
1
,
2
2
R
k
;
Y
1
,
2
2
R
m
−
k
;
C
=
diag
(
c
1
,
c
2
, . . . ,
c
k
)
,
c
i
>
0
,
D
=
diag
(
d
1
,
d
2
, . . . ,
d
m
−
k
)
,
d
j
>
0
;
ε
−
1
=
μ
— малый параметр.
Система (11) — это система с сингулярно-регулярными возмущени-
ями (делением первого и третьего уравнений на величину
ε
получаем
малый параметр
ε
−
1
=
μ
перед соответствующими производными).
Нетрудно привести эту систему к специальному виду [17] и тем са-
мым показать, что она имеет единственное и устойчивое интегральное
многообразие
M
μ
, асимптотически близкое к многообразию
M
0
. Та-
ким образом вопрос о существовании и устойчивости синхронизации
считаем решенным.
Как и в предыдущем случае, ищем параметрическое представление
многообразия
M
μ
в виде степенных рядов по малому параметру вида
X
1
=
X
+
μ
X
11
(
X
,
Y
)
+
μ
2
X
12
(
X
,
Y
)
+
. . .
;
Y
1
=
Y
+
μ
Y
11
(
X
,
Y
)
+
μ
2
Y
12
(
X
,
Y
)
+
. . .
;
X
2
=
X
+
μ
X
21
(
X
,
Y
)
+
μ
2
X
22
(
X
,
Y
)
+
. . .
;
Y
2
=
Y
+
μ
Y
21
(
X
,
Y
)
+
μ
2
Y
22
(
X
,
Y
)
+
. . . .
(12)
Предполагаем, что динамическая система на многообразии имеет вид
˙
X
=
F
(
X
,
Y
)
+
μ
F
(
X
,
Y
)
+
μ
2
F
(
X
,
Y
)
+
. . .
;
˙
Y
=
ΦΦ (
X
,
Y
)
+
μΦ (
X
,
Y
)
+
μ
2
Φ (
X
,
Y
)
+
. . . .
(13)
Подставляя выражения (12) в систему (11), раскладывая функции
в степенные ряды и приравнивая члены одинаковых порядков, полу-
чаем уравнения, определяющие функции в правых частях уравнений
системы (13) и функции замены (12). В частности, системы уравнений
первого приближения имеют вид
F
+
μ
F
+
μ
˙
X
11
=
F
1
+
μ
∂
F
1
∂
X
X
11
+
∂
F
1
∂
Y
Y
11
−
C
(
X
11
−
X
21
)
;
F
+
μ
F
+
μ
˙
X
21
=
F
2
+
μ
∂
F
2
∂
X
X
21
+
∂
F
2
∂
Y
Y
21
+
C
(
X
11
−
X
21
)
;
(14)
86
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2007. № 4
