Краткие сведения о дискретных функциях Виленкина–Крес-
тенсона.
Дискретные ВКФ
W
(
k, i
)
являются
p
-значными комплекс-
ными функциями, определенными на интервале
[0
, N
=
p
n
)
, и тесно
связаны с представлением их номера
k
и номера отсчета
i
в позици-
онной
n
-разрядной системе счисления с основанием
p
(
n
и
p
— целые
положительные числа)
k
=
n
X
m
=1
k
m
p
m
−
1
;
i
=
n
X
m
=1
i
m
p
m
−
1
.
(1)
Здесь
k
m
и
i
m
— значения
m
-го разряда чисел
k
и
i
соответственно и
принимают целочисленные значения в диапазоне
[0
, p
−
1]
. На осно-
ве ВКФ возможно построение различных базисных систем, различаю-
щихся порядком следования базисных функций. Наиболее известными
являются упорядочения Адамара и Пэли [1].
Для системы ВКФ–Адамара базисные функции имеют следующее
аналитическое представление:
W
(
k, i
) = exp
j
2
π
p
n
X
m
=1
k
m
i
m
=
W
n
P
m
=1
k
m
i
m
p
,
(2)
где использовано обозначение
W
p
= exp
j
2
π
p
(
j
— мнимая единица).
Модуль каждой ВКФ
W
(
k, i
)
равен единице, а фаза —
(2
π/p
)
n
X
m
=1
k
m
i
m
.
Вычитая из нее целое число 2
π
, с помощью выражения (2) можно по-
лучить систему ВКФ–Адамара с минимальными фазами. Так, напри-
мер, для
N
= 9 = 3
2
система ВКФ–Адамара представляется следую-
щей матрицей:
W =
W
0
3
W
0
3
W
0
3
W
0
3
W
0
3
W
0
3
W
0
3
W
0
3
W
0
3
W
0
3
W
1
3
W
2
3
W
0
3
W
1
3
W
2
3
W
0
3
W
1
3
W
2
3
W
0
3
W
2
3
W
1
3
W
0
3
W
2
3
W
1
3
W
0
3
W
2
3
W
1
3
W
0
3
W
0
3
W
0
3
W
1
3
W
1
3
W
1
3
W
2
3
W
2
3
W
2
3
W
0
3
W
1
3
W
2
3
W
1
3
W
2
3
W
0
3
W
2
3
W
0
3
W
1
3
W
0
3
W
2
3
W
1
3
W
1
3
W
0
3
W
2
3
W
2
3
W
1
3
W
0
3
W
0
3
W
0
3
W
0
3
W
2
3
W
2
3
W
2
3
W
1
3
W
1
3
W
1
3
W
0
3
W
1
3
W
2
3
W
2
3
W
0
3
W
1
3
W
1
3
W
2
3
W
0
3
W
0
3
W
2
3
W
1
3
W
2
3
W
1
3
W
0
3
W
1
3
W
0
3
W
2
3
.
(3)
Систему ВКФ–Пэли можно получить из системы ВКФ–Адамара (2)
путем
p
-й инверсии номеров
k
функций системы Адамара (т.е. записи
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2007. № 2
65
