а равенство Парсеваля
1
N
N
−
1
X
i
=0
x
2
(
i
) =
N
−
1
X
k
=0
X
(
k
)
X
(
k
)
(9)
отражает энергетическую эквивалентность временного и спектраль-
ного представлений сигналов и подтверждает полноту систем ВКФ.
В выражениях (8) и (9)
W
(
k, i
)
и
X
(
k
)
означают комплексно-
сопряженные значения соответственно ВКФ
W
(
k, i
)
и спектра
X
(
k
)
сигнала
x
(
i
)
.
Пара ДПФ (7) и (8) может быть записана и в матричной форме
x = WX
,
(10)
X =
1
N
W x
,
(11)
где
x
и
X
— матрицы-столбцы отсчетов сигнала и его спектра, а
W
и
W
— квадратные матрицы
N
×
N
комплексных и комплексно-
сопряженных значений ВКФ соответственно. Матрицы
W
и
W
—
унитарные и симметрические.
Левая часть выражения (9) определяет среднюю мощность сигнала
при его представлении во временной области. Следовательно, его пра-
вая часть задает ту же мощность, но при спектральном представлении
сигнала. В соответствии с этим величина
S
(
k
) =
X
(
k
)
X
(
k
)
(12)
выражает спектр мощности сигнала.
Дискретные ВКФ являются дважды мультипликативными функ-
циями относительно операции поразрядного сложения по модулю
p
.
Поэтому спектр мощности (12) не меняется при обобщенном (поли-
адическом) сдвиге сигнала по оси дискретного времени [1]. Такой
сдвиг реализуется с помощью поразрядных сложений (сдвиг влево) и
вычитаний (сдвиг вправо) по модулю
p
. При
p
= 2
(в случае функций
Уолша) сдвиг будет диадическим и математически представляется опе-
рацией поразрядного сложения по модулю 2 (вычитание по модулю 2
совпадает со сложением по модулю 2). При
p
=
N
и
n
= 1
(в слу-
чае ДЭФ) сдвиг будет циклическим и математически представляется
сложением или вычитанием по модулю
N
.
Циклический сдвиг адекватен временным задержкам и запазды-
ваниям, имеющим место в системах обработки. Поэтому инвариан-
ты к нему широко используются в алгоритмах обработки сигналов.
Следует иметь в виду, что спектр мощности (12) в базисе ВКФ при
произвольных
p
6
=
N
неинвариантен к циклическому сдвигу. Однако
и в этом случае можно построить циклически инвариантный спектр.
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2007. № 2
67
