A =
W
0
N
W
1
N
. . .
. . .
. . .
W
N
−
1
N
,
(17)
и поэтому решение матричного уравнения (15) представляется следу-
ющим простым выражением:
Y
1
(
k
) =
W
k
N
X
(
k
)
,
(18)
W
k
N
= exp
j
2
π
N
k
, что соответствует известной теореме о сдвиге
сигнала в базисе ДЭФ [1].
Спектры мощности сдвинутого и несдвинутого сигналов полно-
стью совпадают, так как
Y
1
(
k
)
Y
1
(
k
) =
X
(
k
)
W
k
N
X
(
k
)
W
−
k
N
=
X
(
k
)
X
(
k
)
.
(19)
Спектр мощности
S
(
k
)
для ДЭФ будет инвариантен к любому числу
сдвигов. Доказать это можно следующим образом. Сдвиг на два от-
счета сигнала
x
(
i
)
можно представить как сдвиг на один отсчет уже
сдвинутого на один отсчет сигнала
y
1
(
i
)
. Тогда сдвинутые сигналы
y
2
(
i
)
и
y
1
(
i
)
будут удовлетворять матричному уравнению (14), а их
спектры
Y
2
(
k
)
и
Y
1
(
k
)
— матричному уравнению (15). Поэтому
Y
2
= AY
1
и, в силу диагональной структуры матрицы
A
,
Y
2
(
k
) =
W
k
N
Y
1
(
k
)
.
(20)
Тогда
Y
2
(
k
)
Y
2
(
k
) =
Y
1
(
k
)
Y
1
(
k
) =
X
(
k
)
X
(
k
)
.
(21)
Аналогичным образом доказывается независимость спектра (12) для
ДЭФ и от сдвига на большее число отсчетов.
Применим теперь рассмотренную методику к системам ВКФ. В
этом случае матрица
A
связи спектров также записывается выраже-
нием (16), только
W
и
W
являются уже матрицами комплексных и
комплексно-сопряженных значений ВКФ. Структура матрицы
A
за-
висит от способа упорядочения ВКФ в системе. Сразу в общем виде
ее получить не удается. Поэтому рассмотрим сначала матрицу
A
для
N
= 9
, а затем обобщим полученные результаты.
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2007. № 2
69
