ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕТОДЫ
МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ
УДК 621.319.443
В. И. У л ь я н о в, А. М. Л а в р о в,
О. Н. К л о ч к о в, В. В. Ч и с т я к о в
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБОСНОВАНИЕ
ПОЛУЧЕНИЯ УПОРЯДОЧЕННЫХ СТРУКТУР
НА ОСНОВЕ ЧАСТИЦ СФЕРИЧЕСКОЙ ФОРМЫ
Рассмотрены теоретические предпосылки получения тонких пле-
нок при однослойной упаковке шаров одинакового радиуса с на-
полнителями цилиндрической формы, и найдены условия получения
максимальной плотности.
В настоящее время пленки толщиной сотни и десятки ангстрем
практически из любого материала получают на специальном вакуум-
ном оборудовании. Керамические пленки толщиной от 5 мкм и вы-
ше серийно выпускаются без специальной технологической среды на
основе пленочной технологии. Монолитная структура пленки при этом
обеспечивается спеканием материала диэлектрика в предварительно
собранных пакетах.
Практический интерес представляет толщина пленок от 0,1 до
5 мкм, получаемых при нормальных условиях из частиц материала
с определенным гранулометрическим составом, причем размер зерна,
как правило, не должен превышать толщины пленки. Качество плен-
ки можно обеспечить путем получения упорядоченных структур из
составляющих ее частиц (микрокластеров), что требует учитывать не
только размер частиц, но и их форму.
В настоящей статье приводятся результаты теоретических исследо-
ваний по возможности получения однослойной упаковки в структуре
пленки из частиц сферической формы (сферических кластеров).
Рассмотрим однослойную упаковку шаров одинакового радиуса
r
,
лежащих на плоскости (т.е. расположенных в один слой между двумя
параллельными плоскостями).
Обозначим через
α
угол, образованный двумя непараллельными
линиями центров касающихся друг друга шаров (рис. 1). При этом
π
3
6
α
6
π
2
,
60
◦
6
α
6
90
◦
.
Задача состоит в следующем. Необходимо 1) вычислить плотность
первоначальной упаковки в зависимости от
α
; 2) определить макси-
мальный радиус прямого кругового цилиндра с основаниями на верх-
ней и нижней плоскостях, касающегося шаров данного семейства
78
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2007. № 2
