Рис. 5. Схема упаковки
α
= 60
◦
Вариант 2.
α
= 60
◦
. Вна-
чале вычислим плотность этой
упаковки. При
α
= 60
◦
фун-
даментальной ячейкой являет-
ся правильная шестиугольная
призма высотой
2
r
, основани-
ем которой служит правиль-
ный шестиугольник, описан-
ный около окружности радиу-
сом
r
со стороной (см. рис. 5)
a
= 2
r
tg 30
◦
=
2
r
√
3
. Тем самым
площадь основания
S
осн
= 6
a
2
√
3
4
= 2
r
2
√
3
, объем фундаментальной
ячейки
V
фунд.яч.
=
S
осн.
∙
2
r
= 4
r
3
√
3
, а плотность первоначальной упа-
ковки
δ
0
=
δ
0
π
3
=
V
шара
V
фунд.яч.
=
4
3
πr
3
4
r
3
√
3
=
π
√
3
9
≈
0
,
60460
(напомним, что
δ
0
π
2
=
π
6
≈
0
,
52360
).
Обозначим
x
— радиус прямого кругового цилиндра с основаниями
на нижней и верхней плоскостях, касающегося шаров с центрами в
точках О
1
, О
2
, О
4
внешним образом (см. рис. 5). Вычисления дают
x
=
r
√
3
2
− √
3
. Следовательно, объем цилиндра высотой
2
r
, радиус
основания которого
x
=
r
√
3
2
− √
3
, равен
V
цил.х
=
πx
2
2
r
=
2
πr
3
3
7
−
4
√
3
.
В каждую фундаментальную ячейку попадает (см. рис. 5)
6
×
1
3
таких цилиндров суммарным объемом
V
x
= 6
∙
1
3
V
цил.x
=
4
πr
3
3
7
−
4
√
3
.
Тем самым объем тел, попавших в фундаментальную ячейку, равен
V
1
=
V
ш
+
V
x
=
4
3
πr
3
+
4
πr
3
3
7
−
4
√
3 =
16
3
πr
3
2
− √
3 ;
а плотность упаковки
δ
1
=
δ
1
π
3
=
V
1
V
фунд.яч.
=
4
π
2
√
3
−
3
9
≈
0
,
64801
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2007. № 2
83
