Рис. 1. Расчетная схема квадратной шарнирно опертой по углам пластины
Для проверки условий (12)–(14), (17)–(21) решалась задача о попе-
речных колебаниях квадратной шарнирно опертой по углам пластины.
Ее расчетная схема приведена на рис. 1.
Пластина выполнена из однородного изотропного материала со
следующими характеристиками: модуль упругости
E
= 73
,
1
ГПа, ко-
эффициент Пуассона
ν
= 0
,
3
, плотность
ρ
= 2821
кг/м
3
. Размер пла-
стины в плане
L
= 0
,
305
м, толщина
h
= 0
,
00328
м.
Оценивалось влияние плотности конечно-элементной разбивки на
точность определения собственных частот и форм. Результаты срав-
нивались с решением, приведенным в работе [7]. Удовлетворитель-
ная точность была достигнута на конечно-элементной модели, со-
держащей 81 узел и 128 элементов Зенкевича [8]. Узлы распреде-
лены по пластине равномерно. Численно методом Якоби на 50 ите-
рациях было получено значение первой частоты собственных колеба-
ний пластины 61,05 Гц, которому соответствует собственное значение
ν
1
= 147140
,
1
с
−
2
.
Для проверки соотношения (12) решалась задача о свободных ко-
лебаниях в главных координатах. Начальные условия: вектор узло-
вых перемещений совпадает с первой формой собственных колеба-
ний, вектор узловых скоростей равен нулю. Поперечные перемещения
центральной точки пластины были найдены несколькими способами
и приведены на рис. 2. Они были получены в численном эксперименте
с шагом интегрирования по времени
Δ
τ
= 0
,
002
с. Этим результатам
соответствует на рис. 2. график “численное решение”. Перемещениям,
найденным из аналитического решения и по соотношению (12), соот-
ветствуют графики “аналитическое решение” и “прогноз численного
решения”, соответственно. Результаты говорят об удовлетворительном
соответствии наших предположений о рассогласовании частоты, фазы
и амплитуды в случае свободных колебаний результатам численных
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2007. № 1
67
