и
Ae
iμ
(
t
k
+Δ
τ
)
=
A
1 +
ν
2
j
Δ
τ
4
24
−
ν
j
Δ
τ
2
2
e
iμt
k
+
+
A
Δ
τ
−
ν
j
Δ
τ
3
6
iμe
iμt
k
+
C
Δ
τ
2
2
−
ν
j
Δ
τ
4
24
e
iωt
k
.
Теперь умножим второе уравнение системы на
iμ
и приравняем пра-
вые части. После приведения подобны слагаемых, получаем соотно-
шение
A μ
2
−
ν
j
Δ
τ
−
ν
j
Δ
τ
3
6
e
iμt
k
=
=
C
−
Δ
τ
+
ν
j
Δ
τ
3
6
+
i μ
Δ
τ
2
2
−
ν
j
μ
Δ
τ
4
24
e
iωt
k
.
Из этого соотношения следует, что
μ
=
ω
и
A
=
C
ν
j
−
ω
2
1+
i
ω
Δ
τ
2
,
если опускать величины высшего порядка малости относительно
ω
Δ
τ
2
. Полное решение системы (8) имеет вид
q
k
=
q
(
t
k
) =
Ae
iωt
k
+
+
A
0
e
i
√
ν
j
t
k
+
B
0
e
−
i
√
ν
j
t
k
. Начальные условия (
t
k
0
= 0)
точно соответ-
ствуют аналитическому решению, поэтому
A
0
=
−
i
ω
Δ
τ
4
C
ν
2
j
−
ω
2
1 +
ω
√
ν
и
B
0
=
−
i
ω
Δ
τ
4
C
ν
2
j
−
ω
2
1
−
ω
√
ν
.
Полное решение системы (8) представляется в виде
q
k
=
C
ν
j
−
ω
2
e
iωt
k
1 +
i
ω
Δ
τ
2
1
−
1
2
1 +
ω
√
ν
e
i
(
√
ν
j
−
ω
)
t
k
−
−
1
2
1
−
ω
√
ν
e
i
(
− √
ν
j
−
ω
)
t
k
.
(17)
Последнее выражение показывает, что у перемещения относитель-
ная погрешность по амплитуде
Δ
амплитуда
6
ω
Δ
τ
2
1 +
ω
√
ν
(18)
и по фазе
Δ
фаза
6
ω
Δ
τ.
(19)
В частном случае при
F
(
t
) =
C
sin (
ωt
)
и
ω
=
√
ν
j
частное
решение неоднородного дифференциального уравнения имеет вид
q
(
t
) =
C
2
√
ν
j
t
sin
√
ν
j
t
−
π
2
. Численное частное решение будем ис-
кать в виде
q
k
=
q
(
t
k
) =
Ae
iμt
k
и
˙
q
k
= ˙
q
(
t
k
) =
Be
iμt
k
. Подстановка в
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2007. № 1
65
