[
L
]
−
1
[
K
] ([
L
]
т
)
−
1
[
L
]
т
{
q
}
=
−
[
L
]
−
1
[
L
] [
L
]
т
{
¨
q
}
+ [
L
]
−
1
{
F
}
.
(3)
Так как
([
L
]
т
)
−
1
= ([
L
]
−
1
)
т
, то запишем
[
L
]
−
1
[
K
] [
L
]
−
1
т
= [
B
]
, где
[B] – симметричная матрица с ленточной структурой, соответствую-
щей ленточным структурам
[
M
]
и
[
K
]
. Обозначим
{
ˆ
q
}
= [
L
]
T
{
q
}
и
n
ˆ
F
o
= [
L
]
−
1
{
F
}
. Учитывая, что
[
L
]
т
{
¨
q
}
=
n
¨ˆ
q
o
, перепишем выраже-
ние (3) в виде
[
B
]
{
ˆ
q
}
=
−
n
¨ˆ
q
o
+
n
ˆ
F
o
.
(4)
Для простоты дальнейшего изложения символ
ˆ
над векторами
{
ˆ
q
}
и
n
ˆ
F
o
указывать не будем.
В соответствии с предлагаемым подходом необходимо записать
конечно-разностное выражение для вектора узловых ускорений. Из
этого выражения необходимо получить рекуррентную зависимость
очередного вектора узловых перемещений от предыдущих векторов
узловых перемещений, их первых производных по времени и вектора
узловых сил. В соответствии с получившейся зависимостью, аппрок-
симируем прогнозируемое численное решение функцией вида функ-
ции аналитического решения. При выбранном шаге по времени оцени-
ваем точность получаемого численного решения по прогнозируемому.
Для дифференциального уравнения вида
{
¨
q
}
=
{
f
(
t,
{
q
}
)
}
соот-
ношения метода Рунге–Кутты 4-го порядка записываются для вектора
узловых перемещений и вектора узловых скоростей. Дифференциаль-
ное уравнение второго порядка представляется в виде системы двух
дифференциальных уравнений первого порядка:
{
˙
q
}
=
{
v
}
,
{
˙
v
}
=
{
f
(
t,
{
q
}
)
}
.
(5)
Для рассматриваемого случая имеем вектор
{
f
(
t
k
,
{
q
k
}
)
}
=
=
−
[
B
]
{
q
k
}
+
{
F
k
}
. В общем виде соотношения метода Рунге–Кутты
4-го порядка для системы (5) представлены в работе [2]. Предполо-
жим неизменность вектора {F
k
} на
k
-м шаге по времени. Опуская
выкладки, выразим значения векторов узловых перемещений и узло-
вых скоростей на следующем шаге по времени:
60
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2007. № 1
