численными методами, в том числе с использованием метода конеч-
ных разностей по времени. Возможно использование условно устой-
чивых схем (методы центральных разностей, Рунге–Кутты, Вильсона)
и безусловно устойчивых (методы Хубольта, Адамса–Мултона) [1], [2].
Вопросам точности и сходимости посвящены работы Б. Парлетта [3],
О. Зенкевича [4], Г.Н. Кувыркина [5], Г.И. Марчука [6].
Широко используется явная условно устойчивая схема метода
Рунге–Кутты 4-го порядка. Важно выбрать такой шаг по времени, ко-
торый обеспечит на заранее известном интервале времени требуемую
точность получаемого решения.
Рассмотрим сплошное неоднородное тело объемом
V
, плотностью
ρ
, на которое действуют нестационарные объемные силы
~f
, а на ча-
сти поверхности
S
1
— нестационарные поверхностные силы
~t
ν
. На
части полной поверхности заданы кинематические граничные усло-
вия. Перемещения считаем малыми, деформации упругими. Необходи-
мо определить напряженно-деформированное состояние с известной
точностью на интервале времени. Перемещения
u
i
и их первые про-
изводные по времени в начальный момент известны. Воспользуемся
вариационным принципом возможных перемещений в формулировке
ZZZ
(
V
)
σ
ij
δε
ij
dV
−
ZZZ
(
V
)
(
−
ρ
¨
u
i
)
δu
i
dV
−
−
ZZ
(
S
1
)
t
ν
i
δu
i
dS
−
ZZZ
(
V
)
f
i
δu
i
dV
= 0
.
(1)
Представим тело конечными элементами. Записывая формулу (1)
для выбранного конечного элемента и применяя стандартные процеду-
ры метода конечных элементов, получаем следующее уравнение дви-
жения:
[
K
]
{
q
}
=
−
[
M
]
{
¨
q
}
+
{
F
}
,
(2)
где
[
K
]
— матрица жесткости;
[
M
]
— матрица масс конечно-элементной
модели;
{
q
}
— вектор узловых перемещений,
{
F
}
— вектор узловых
сил. Начальные условия
{
q
}|
t
=0
=
{
q
0
}
,
{
˙
q
}|
t
=0
=
{
˙
q
0
}
.
Представим матрицу
[
M
]
согласно работе [4] в виде
[
M
] = [
L
] [
L
]
т
,
где
[
L
]
— нижняя треугольная матрица, определенная, например, по
алгоритму Холецкого [3]. Умножим обе части равенства (2) слева на
[
L
]
−
1
, получим
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2007. № 1
59
