Для простоты дальнейшего изложения символ над векторами
указываться не будет, как и индекс
j
у компонентов вектора узловых
перемещений.
Оценим погрешность численного решения, которая складывается
из погрешности исходных данных, погрешности метода и погреш-
ности вычислений. Последние зависят от разрядности применяемой
арифметики и способов округления. В данной работе они не рас-
сматриваются и считаются малыми по сравнению с погрешностями
методов. Погрешность исходных данных считаем равной нулю. Отно-
сительная погрешность нахождения перемещения равна разнице точ-
ного и численного решений, отнесенной к амплитудному значению
перемещения.
При рассмотрении задач о вынужденных колебаниях внешнюю на-
грузку раскладываем в ряд Фурье. Искомые решения имеют характер
колебаний. Потому для таких задач и задач о свободных колебаниях
погрешность метода можно рассматривать в виде суммы погрешно-
стей определения амплитуды, фазы и частоты этих колебаний:
Δ
Σ
= Δ
амплитуды
+ Δ
фазы
+ Δ
частоты
.
(9)
Рассмотрим задачу о свободных колебаниях. Погрешность в пер-
вую очередь будет определяться расхождением частот получаемого
численного и аналитического решений и затуханием амплитуды коле-
баний численного решения. Будем искать численное решение системы
(8) в виде
q
k
=
q
(
t
k
) =
Ce
i
(
√
ν
j
+Δ
w
)
t
k
и
˙
q
k
= ˙
q
(
t
k
) =
De
i
(
√
ν
j
+Δ
w
)
t
k
,
где
Δ
w
— отклонение частоты численного решения от аналитического.
После подстановки в выражение (8)
q
k
и
˙
q
k
получаем систему
Ce
i
(
√
ν
j
+Δ
w
)
(
t
k
+Δ
τ
)
=
= 1
−
ν
j
Δ
τ
2
2
+
ν
2
j
Δ
τ
4
24
C
+ Δ
τ
−
ν
j
Δ
τ
3
6
D e
i
(
√
ν
j
+Δ
w
)
t
k
,
De
i
(
√
ν
j
+Δ
w
)
(
t
k
+Δ
τ
)
=
=
ν
2
j
Δ
τ
3
6
−
ν
j
Δ
τ C
+ 1
−
ν
j
Δ
τ
2
2
+
ν
2
j
Δ
τ
4
24
De
i
(
√
ν
j
+Δ
w
)
t
k
.
(10)
После сокращения обеих частей второго уравнения на
e
i
√
ν
j
t
k
находим
De
i
Δ
wt
k
. По формуле Лагранжа для остатка ряда можно
записать
e
i
√
ν
j
Δ
τ
= 1 +
i
√
ν
j
Δ
τ
−
ν
j
Δ
τ
2
2
−
iν
j
√
ν
j
Δ
τ
3
6
+
ν
2
j
Δ
τ
4
24
+
+
iν
2
j
√
ν
j
Δ
τ
5
120
e
i
√
ν
j
ξ
1
, где
ξ
1
2
[0
,
Δ
τ
]
. Опираясь на численные экс-
перименты, считаем, что
Δ
w
много меньше
√
ν
j
. Представляем
62
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2007. № 1
