Введя замены
Z
(
t
) =
dV
(
t
)
dt
,
(9)
A
=
6
πρνR
M
+
2
3
πρR
3
, B
=
R
r
1
πν
,
(10)
˜
F
0
(
t
) =
F
0
(
t
)
M
+
2
3
πρR
3
,
˜
ξ
(
t
) =
ξ
(
t
)
M
+
2
3
πρR
3
,
(11)
придем к выражению
Z
(
t
) +
A
t
Z
0
1 +
B
√
t
−
τ
Z
(
τ
)
dτ
= ˜
F
0
(
t
) + ˜
ξ
(
t
)
,
(12)
в котором учтено, что
V
(
t
) =
t
Z
0
dV
(
τ
)
dτ
dτ
, так как
V
(0) = 0
.
Выра-
жение (12) описывает случайный процесс
Z
(
t
)
, являющийся в этом
случае немарковским случайным процессом. Таким образом, исполь-
зование для силы сопротивления выражения (7), вместо формулы (4),
приводит к необходимости применения интегральных уравнений, а,
следовательно, и теории немарковских процессов [7].
Решение интегрального уравнения (12) имеет вид [8]
Z
(
t
) =
t
Z
0
(
δ
(
t
−
τ
)
−
R
(
t, τ
)) ˜
F
0
(
τ
) + ˜
ξ
(
τ
)
dτ,
(13)
где резольвента
R
(
t, τ
) =
∞
X
n
=1
K
n
(
t, τ
)
.
(14)
В последнем выражении члены ряда определяются с помощью рекур-
рентного соотношения
K
n
+1
(
t, τ
) =
t
Z
τ
K
1
(
t, s
)
K
n
(
s, τ
)
ds,
(15)
где
K
1
(
t, τ
) =
A
1 +
B
√
t
−
τ
.
(16)
Вычисление по формуле (15) приводит к следующим выражениям для
первых членов ряда (14):
K
2
(
t, τ
) =
−
A
2
(
t
−
τ
) + 4
B
(
t
−
τ
)
1
/
2
+
πB
2
,
(17)
6
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2006. № 4
