щая сила
F
0
(
t
) =
−
kX
(
t
)
.
В этом случае уравнение (12) примет вид
Z
(
t
) +
A
t
Z
0
1 +
B
√
t
−
τ
Z
(
τ
)
dτ
=
−
˜
kX
(
t
) + ˜
ξ
(
t
)
,
(32)
где
˜
k
=
k
M
+
2
3
πρR
3
.
(33)
Найдем в этом случае спектральные плотности процессов
Z
(
t
)
и
V
(
t
)
при
t
→ ∞
. Учтя, что преобразование Лапласа функций
X
(
t
)
и
Z
(
t
)
связаны соотношением
ˆ
X
(
p
) = ˆ
Z
(
p
)
/p
2
, для уравнения (32) в изобра-
жениях имеем
ˆ
Z
(
p
) 1 +
k
p
2
+
AB
√
π
√
p
+
A
p
= ˆ
ξ
(
p
)
,
(34)
или
ˆ
Z
(
p
) =
p
2
p
2
+
AB
p
πp
3
+
Ap
+ ˜
k
ˆ
ξ
(
p
)
.
(35)
Выполнив процедуру, проведенную при выводе формул (30) и (31),
для спектральных плотностей процессов
Z
(
t
)
и
V
(
t
)
получим
G
Z
(
ω
) =
=
ω
4
ω
4
+
AB
√
2
πω
7
+
A
2
B
2
πω
3
+
A
2
B
√
2
πω
5
+(
A
2
−
2 ˜
k
)
ω
2
−
˜
kAB
√
2
πω
3
+ ˜
k
2
G
˜
ξ
,
(36)
G
V
(
ω
) =
=
ω
2
ω
4
+
AB
√
2
πω
7
+
A
2
B
2
πω
3
+
A
2
B
√
2
πω
5
+(
A
2
−
2 ˜
k
)
ω
2
−
˜
kAB
√
2
πω
3
+ ˜
k
2
G
˜
ξ
.
(37)
Из выражения (37) легко найти спектральную плотность для коор-
динаты
X
(
t
)
. Получим
G
X
(
ω
) =
=
1
ω
4
+
AB
√
2
πω
7
+
A
2
B
2
πω
3
+
A
2
B
√
2
πω
5
+(
A
2
−
2 ˜
k
)
ω
2
−
˜
kAB
√
2
πω
3
+ ˜
k
2
G
˜
ξ
.
(38)
Сравним последнее выражение со спектральной плотностью класси-
ческого осциллятора, которая получается из уравнения (38) при усло-
вии, что
B
= 0
с
1
/
2
, а в формулах (10) (для коэффициента
A
), (28) и
(33) слагаемое
2
3
πρR
3
, стоящее в знаменателе, обращается в нуль. В
этом случае выражение (38) переходит в формулу
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2006. № 4
11
