оценки, вопрос о редукции системы на практике можно решить по-
следовательным увеличением параметра редукции
k
до обеспечения
оптимальной точности решения. После приближенного определения
коэффициентов в (21) и (22) до номера
k
из редуцированного уравне-
ния (23) температура может быть записана в виде частичной суммы
ряда Фурье
T
(
r, τ
) =
A
T
0
2
+
k
X
n
=1
˜
A
T
n
(
r
) cos (
nωτ
) + ˜
B
T
n
(
r
) sin (
nωτ
)
.
(24)
Отметим, что решение также можно получить в безразмерном ви-
де, для которого краевая задача (3)–(5) записывается как
b
τ
р
∂
2
θ
∂
b
τ
2
+
∂θ
∂
b
τ
= Fo
1
ˆ
r
∂
∂
ˆ
r
ˆ
r
∂θ
∂
ˆ
r
,
b
τ >
−∞
,
0
<
ˆ
r <
1;
∂θ
(0
,
b
τ
)
∂
ˆ
r
= 0
, θ
(0
,
b
τ
)
6
=
∞
;
−
∂θ
(1
,
b
τ
)
∂
ˆ
r
= 1 +
b
τ
р
∂
∂
b
τ
[Bi (
b
τ
) (
θ
(1
,
b
τ
)
−
θ
с
(
b
τ
))]
,
где
θ
(ˆ
r,
b
τ
) =
T
(ˆ
r,
b
τ
)
−
T
с
/
4
T
с
— безразмерная избыточная темпе-
ратура цилиндра;
θ
с
(
b
τ
) =
T
с
(
b
τ
)
−
T
с
/
4
T
с
— безразмерная избыточ-
ная температура среды;
T
с
=
A
T
с
0
/
2
— среднее значение температуры
среды за период;
4
T
с
=
T
max
с
−
T
min
с
— размах колебаний температуры
среды;
T
max
с
и
T
min
с
— наибольшее и наименьшее значения температу-
ры среды за период;
b
τ
=
ωτ
— безразмерное время;
Bi (
b
τ
) =
α
(
b
τ
)
R/λ
— критерий Био. Зависимость для
θ
(ˆ
r,
b
τ
)
запишется в виде, аналогич-
ном формуле (24), а критериями подобия в данном случае являются
b
τ
р
,
Fo
,
Bi (
b
τ
)
,
θ
с
(
b
τ
)
. В работе [4] проведен подробный анализ безразмер-
ной формы решения краевой задачи для параболического уравнения
теплопроводности, соответствующей рассматриваемой в данной рабо-
те при
b
τ
р
= 0
. Аналогично может быть исследован и случай
b
τ
р
6
= 0
.
Результаты расчетов и их обсуждение.
В качестве практическо-
го применения полученных зависимостей были проведены расчеты с
их использованием для ступенчатых зависимостей температуры сре-
ды и коэффициента теплоотдачи от времени (рис. 1). Степень паровой
парциальности
e
п
= 0
,
3
представляет собой отношение длительности
охлаждения за период
τ
Δ
= 1
с к величине этого периода. В про-
цессе охлаждения цилиндра параметры среды принимают значения
T
п
= 500
K,
α
п
= 3000
Вт/(м
2
∙
K), а в процессе нагревания
T
г
= 1500
K,
α
г
= 2000
Вт/(м
2
∙
K) (индексы “п” и “г” означают соответственно пар
и газ). Вполне очевидно, что для подобных ступенчатых законов изме-
нения параметров среды во времени
˙
q
(
τ
)
≡
0
. В качестве материала
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2013. № 2
115
