Математическая модель.
Применение зависимости (2) вместо (1)
при выводе уравнения теплопроводности приводит к уравнению ги-
перболического типа
τ
р
∂
2
T
∂τ
2
+
∂T
∂τ
=
a
1
r
∂
∂r
r
∂T
∂r
, τ >
−∞
,
0
< r < R,
(3)
с граничными условиями
∂T
(0
, τ
)
∂r
= 0
, T
(0
, τ
)
6
=
∞
;
(4)
−
λ
∂T
(
R, τ
)
∂r
= 1 +
τ
р
∂
∂τ
[
α
(
τ
) (
T
(
R, τ
)
−
T
с
(
τ
))]
,
(5)
где
T
=
T
(
r, τ
)
— температура цилиндра в точке с координатой
r
в момент времени
τ
;
R
— радиус цилиндра;
α
(
τ
)
— коэффициент
теплоотдачи;
T
с
(
τ
)
— температура среды. Условие теплообмена на
поверхности цилиндра (5) можно переписать в виде
−
λ
∂T
(
R, τ
)
∂r
= [
α
(
τ
) +
τ
р
˙
α
(
τ
)]
T
(
R, τ
) +
+
τ
р
∂T
(
R, τ
)
∂τ
−
[
q
(
τ
) +
τ
р
˙
q
(
τ
)]
,
(6)
где обозначенo
q
(
τ
) =
α
(
τ
)
T
с
(
τ
) ; ˙
α
(
τ
) =
dα
dτ
; ˙
q
(
τ
) =
dq
dτ
.
В рамках проводимого авторами исследования [4] интерес пред-
ставляет установившееся температурное поле, определяемое только
условиями теплообмена с внешней средой. В этом случае считается,
что граничный режим действует неограниченно долгое время, поэтому
начальная температура и скорость ее изменения во времени не оказы-
вают влияния на решение, т.е. рассматривается задача без начальных
условий [5]. Поскольку интерес представляет квазистационарное ре-
шение, начальные условия не принимаются во внимание. При реше-
нии краевой задачи (3)–(5) с нестационарным периодическим коэф-
фициентом теплоотдачи используется подход, предложенный в работе
[4]. В соответствии с ним представляем искомую зависимость для
температуры в виде ряда Фурье
T
(
r, τ
) = ˜
A
T
0
(
r
) +
∞
X
n
=1
˜
A
T
n
(
r
) cos (
nωτ
) + ˜
B
T
n
(
r
) sin (
nωτ
)
,
(7)
а также остальные периодические функции:
α
(
τ
) =
A
α
0
2
+
∞
X
n
=1
A
α
n
cos (
nωτ
) +
B
α
n
sin (
nωτ
)
,
(8)
108
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2013. № 2
