q
(
τ
) =
A
q
0
2
+
∞
X
n
=1
A
q
n
cos (
nωτ
) +
B
q
n
sin (
nωτ
)
,
(9)
˙
α
(
τ
) =
A
˙
α
0
2
+
∞
X
n
=1
A
˙
α
n
cos (
nωτ
) +
B
˙
α
n
sin (
nωτ
)
,
(10)
˙
q
(
τ
) =
A
˙
q
0
2
+
∞
X
n
=1
A
˙
q
n
cos (
nωτ
) +
B
˙
q
n
sin (
nωτ
)
,
(11)
где
ω
= 2
π/τ
Δ
— круговая частота;
τ
Δ
— период изменения параметров
среды. Как известно из теории рядов Фурье [6], если функции
α
(
τ
)
и
q
(
τ
)
являются непрерывными кусочно-гладкими, то ряды (8) и (9)
сходятся к ним абсолютно и равномерно. В таком случае ряды (10) и
(11) могут быть получены почленным дифференцированием (8) и (9).
Для определения функциональных коэффициентов
˜
A
T
0
(
r
)
,
˜
A
T
n
(
r
)
,
˜
B
T
n
(
r
)
подставим ряд (7) в уравнения (3), (4) и после группировки
членов получим
1
r
d
dr
r
d
˜
A
T
0
dr
!
= 0;
(12)
1
r
d
dr
r
d
˜
A
T
n
dr
!
+
n
2
τ
р
ω
2
a
˜
A
T
n
−
n
ω
a
˜
B
T
n
= 0;
(13)
1
r
d
dr
r
d
˜
B
T
n
dr
!
+
n
2
τ
р
ω
2
a
˜
B
T
n
+
n
ω
a
˜
A
T
n
= 0;
(14)
d
˜
A
T
0
(0)
dr
= 0
,
˜
A
T
0
(0)
6
=
∞
;
(15)
d
˜
A
T
n
(0)
dr
= 0
,
˜
A
T
n
(0)
6
=
∞
;
(16)
d
˜
B
T
n
(0)
dr
= 0
,
˜
B
T
n
(0)
6
=
∞
.
(17)
Решение уравнения (12) с условием (15) имеет вид
˜
A
T
0
(
r
) =
A
T
0
/
2 =
const
,
где
A
T
0
/
2 =
T
— среднее значение температуры цилиндра за период.
Уравнения (13) и (14) можно свести к уравнению
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2013. № 2
109
