d
4
˜
A
T
n
d
ˆ
r
4
+
2
ˆ
r
d
3
˜
A
T
n
d
ˆ
r
3
+ 2
μ
n
−
1
ˆ
r
2
d
2
˜
A
T
n
d
ˆ
r
2
+
+
2
μ
n
ˆ
r
+
1
ˆ
r
3
d
˜
A
T
n
d
ˆ
r
+
μ
2
n
+
ν
2
n
˜
A
T
n
= 0
,
(18)
где
ˆ
r
=
r/R
— безразмерный радиус;
μ
n
=
b
τ
р
n
2
/
Fo
;
ν
n
=
n/
Fo
;
Fo =
a/
(
ωR
2
)
— критерий Фурье;
b
τ
р
=
ωτ
р
— безразмерное время
релаксации. Для нахождения решения уравнения (18) рассмотрим два
операторных уравнения:
L
I
[
y
] =
d
2
y
dx
2
+
1
x
dy
dx
+ (
μ
+
iν
)
y
= 0;
L
II
[
z
] =
d
2
z
dx
2
+
1
x
dz
dx
+ (
μ
−
iν
)
z
= 0
,
где
μ
≥
0
,
ν >
0
— постоянные коэффициенты;
i
— мнимая единица.
Их решения имеют вид [7]
y
(
x
) =
AJ
0
x
p
μ
+
iν
+
BY
0
x
p
μ
+
iν
;
z
(
x
) =
CJ
0
x
p
μ
−
iν
+
DY
0
x
p
μ
−
iν ,
где
J
0
(
x
)
и
Y
0
(
x
)
— функции Бесселя I и II рода нулевого порядка;
A
,
B
,
C
,
D
— произвольные комплексные постоянные. Легко проверить,
что полученные функции и, следовательно, их сумма удовлетворяют
уравнению типа (18). В самом деле, составив линейную комбинацию,
получим
d
2
L
I
[
y
]
dx
2
+
1
x
dL
I
[
y
]
dx
+
+ (
μ
−
iν
)
L
I
[
y
] +
d
2
L
II
[
z
]
dx
2
+
1
x
dL
II
[
z
]
dx
+ (
μ
+
iν
)
L
II
[
z
] =
=
d
4
w
dx
4
+
2
x
d
3
w
dx
3
+ 2
μ
−
1
x
2
d
2
w
dx
2
+
2
μ
x
+
1
x
3
dw
dx
+
μ
2
+
ν
2
w
= 0
,
где
w
(
x
) =
y
(
x
) +
z
(
x
)
. Поскольку полученное линейное одно-
родное дифференциальное уравнение IV порядка должно иметь
четыре линейно независимых решения, а функции
J
0
x
√
α
+
iβ
,
Y
0
x
√
α
+
iβ
,
J
0
x
√
α
−
iβ
,
Y
0
x
√
α
−
iβ
линейно независимы,
то
w
(
x
) =
AJ
0
x
p
μ
+
iν
+
BY
0
x
p
μ
+
iν
+
+
CJ
0
x
p
μ
−
iν
+
DY
0
x
p
μ
−
iν .
110
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2013. № 2
