торное поле плотности теплового потока
~q
со скалярным полем тем-
пературы
T
:
~q
=
−
λ
grad
T,
(1)
где
λ
— коэффициент теплопроводности материала тела.
Согласно уравнению (1) тепловой поток распространяется в про-
странстве с бесконечной скоростью, поскольку изменение температу-
ры в некоторой области мгновенно сказывается на температуре в сколь
угодно удаленной от нее точке. В действительности теплота распро-
страняется с конечной, хотя и довольно большой, скоростью, поэтому
в большинстве практических задач ее можно не принимать во внима-
ние. Однако для некоторых задач теплового удара, когда температура
поверхности тела или граничащей с ней среды меняется скачкообраз-
но, и ряда других процессов [1, 2] этого сделать нельзя. В таких случа-
ях необходимо вместо соотношения (1) для вывода уравнения тепло-
проводности воспользоваться теорией Максвелла–Каттанео–Лыкова,
учитывающей инерцию теплового потока [1]:
~q
=
−
λ
grad
T
−
τ
р
∂~q
∂τ
,
(2)
где
τ
р
=
a/w
2
q
— время релаксации теплового потока;
a
— коэффициент
температуропроводности материала;
w
q
— скорость распространения
теплоты.
В монографии [3] приводятся более общие, чем (1), законы тепло-
проводности, в частности соотношение (2). В ряде работ, затрагива-
ющих вопрос о конечной скорости распространения теплоты, отме-
чается ее качественное влияние на процесс формирования темпера-
турных полей. Например, авторы [2] исследовали температурное поле
бесконечной пластины при термическом ударе. Результаты расчетов
показали, что вблизи поверхностей пластины при малых значениях
времени на фронте температурного возмущения имеет место скачок
температуры. В некоторый момент времени скачок исчезает, после че-
го распределение температуры полностью совпадает с классическим
решением.
В статье [4] было исследовано квазистационарное температур-
ное поле цилиндра, определяемое нестационарными периодическими
условиями теплообмена с внешней средой. Несмотря на то что в
расчетах параметры теплового взаимодействия со средой изменялись
импульсно в определенные моменты времени, инерция теплового
потока не учитывалась. Поэтому в данной работе проведено исследо-
вание количественного влияния конечной скорости распространения
теплоты на температурные волны и выявлены условия, при которых
она должна приниматься во внимание.
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2013. № 2
107
