Теперь можно записать искомое решение для коэффициента
˜
A
T
n
(ˆ
r
) =
A
T
n
J
0
ˆ
r
p
μ
n
+
iν
n
+
B
T
n
Y
0
ˆ
r
p
μ
n
+
iν
n
+
+
C
T
n
J
0
ˆ
r
p
μ
n
−
iν
n
+
D
T
n
Y
0
ˆ
r
p
μ
n
−
iν
n
.
(19)
Поскольку уравнение (18) содержит только действительные коэффи-
циенты, то
˜
A
T
n
(ˆ
r
)
является вещественной функцией, определяемой
суперпозицией действительной и мнимой частей (19) [8]. Для ее на-
хождения учтем, что для аргумента комплексного числа
0
< ϕ < π
справедливо соотношение
Y
0
x
√
e
iϕ
=
iJ
0
x
√
e
iϕ
−
2
π
K
0
x
√
e
i
(
ϕ
−
π
)
,
где
K
0
(
x
)
— функция Макдональда, и введем обозначения
J
0
x
√
e
iϕ
= Ber (
x, ϕ
)
±
i
Bei (
x, ϕ
)
,
K
0
x
√
e
i
(
ϕ
−
π
)
= Ker (
x, ϕ
)
±
i
Kei (
x, ϕ
)
.
С учетом этого решение (19) примет вид
˜
A
T
n
(ˆ
r
) =
A
T
n
Ber (
γ
n
ˆ
r, ϕ
n
) +
B
T
n
Bei (
γ
n
ˆ
r, ϕ
n
) +
+
C
T
n
Ker (
γ
n
ˆ
r, ϕ
n
) +
D
T
n
Kei (
γ
n
ˆ
r, ϕ
n
)
,
(20)
где
γ
n
=
p
|
μ
n
+
iν
n
|
=
4
p
μ
2
n
+
ν
2
n
;
ϕ
n
= arg (
μ
n
+
iν
n
) = arctg (1
/
(
b
τ
р
n
));
A
T
n
,
B
T
n
,
C
T
n
,
D
T
n
— произвольные вещественные постоянные.
Отметим связь введенных функций с функциями Кельвина (также
называемыми функциями Томсона) [9], используемыми в решении в
частном случае
τ
р
= 0
[4]:
ber (
x
) = Ber (
x, π/
2)
,
bei (
x
) = Bei (
x, π/
2) ;
ker (
x
) = Ker (
x, π/
2)
,
kei (
x
) = Kei (
x, π/
2)
,
а также запишем их разложения в ряд Маклорена:
Ber (
x, ϕ
) =
∞
X
n
=0
(
−
1)
n
cos (
nϕ
)
(
n
!)
2
x
2
2
n
;
Bei (
x, ϕ
) =
∞
X
n
=0
(
−
1)
n
+1
sin (
nϕ
)
(
n
!)
2
x
2
2
n
;
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2013. № 2
111
