метод описания множеств достижимости для двумерных аффинных
систем с управлением.
В данной работе рассматривается задача исследования управляемо-
сти систем, эквивалентных регулярным системам квазиканонического
вида.
Основные определения.
Рассмотрим нелинейную систему с
управлением
˙
x
=
F
(
x, u
)
,
(1)
где
x
2
R
n
,
u
2
R
m
. Будем предполагать, что система (1) при фиксиро-
вании любого начального состояния
x
0
2
R
n
и любого непрерывного
управления
u
(
t
)
,
t
2
[0
, t
k
]
, такова, что соответствующая задача Коши
˙
x
=
F
(
x, u
(
t
))
, x
(0) =
x
0
,
(2)
имеет и притом единственное решение
x
=
x
(
t
)
, определенное при
t
2
[0
, t
k
]
.
Пусть ограничения на состояния системы заданы в виде
x
2
O
R
n
.
(3)
Множество
O
называют множеством допустимых состояний систе-
мы (1).
Состояние
x
k
2
O
системы (1), (3) называют достижимым за ин-
тервал времени
[0
, t
k
]
из состояния
x
0
2
O
, если существует такое
непрерывное управление
u
(
t
)
, определенное на
[0
, t
k
]
, что для реше-
ния соответствующей задачи Коши (2) выполнены условия:
1)
x
(
t
)
2
O
при всех
t
2
[0
, t
k
]
,
2)
x
(
t
k
) =
x
k
.
Если все состояния
x
k
2
O
системы (1), (3) достижимы за ин-
тервал времени
[0
, t
k
]
из состояния
x
0
2
O
, то эту систему называют
управляемой за интервал времени
[0
, t
k
]
из состояния
x
0
.
Если система (1), (3) управляема за интервал времени
[0
, t
k
]
из
любого допустимого состояния
x
0
2
O
, то систему (1) называют упра-
вляемой за интервал времени
[0
, t
k
]
на множестве
O
.
Свойства управляемости и достижимости для нелинейных систем
непосредственно связаны с существованием решений терминальных
задач для этих систем. Под терминальной задачей понимают нахожде-
ние управления, переводящего систему за некоторый интервал време-
ни из заданного начального состояния в заданное конечное.
Далее будем рассматривать аффинную систему со скалярным упра-
влением:
˙
x
=
G
1
(
x
) +
G
2
(
x
)
u, x
2
R
n
, u
2
R
,
(4)
G
i
(
x
) = (
G
i
1
(
x
)
, . . . , G
in
(
x
))
т
, G
ij
(
x
)
2
C
∞
(R)
, i
= 1
,
2
, j
= 1
, n,
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2006. № 3
13
