Используя формулу (34), получаем
lim
c
→
+
∞
t
k
Z
0
Q
1
(
b
(
t
) +
c d
(
t
))
Q
2
(
b
(
t
) +
c d
(
t
))
dt
= +
∞
.
(37)
Оценим при
c >
0
второй интеграл в представлении (32):
t
k
Z
0
Q
3
(
b
(
t
) +
c d
(
t
))
dt,
используя свойства (28) и (29) функции
Q
3
(
z
)
.
Наименьшее значение функции
d
(
t
)
на отрезке
[0
, t
k
]
равно нулю,
поэтому
8
c >
0
8
t
2
[0
, t
k
] :
b
(
t
) +
c d
(
t
)
≥
b
min
.
Это означает, что если
c >
0
,
t
2
[0
, t
k
]
, то значения аргумен-
та функции
Q
3
(
z
)
при
z
=
b
(
t
) +
c d
(
t
)
принадлежат множеству
{
z
2
R
n
−
1
:
z
1
≥
b
min
}
. Согласно условию (28), для
p
=
b
min
найдется
такое
L
1
, что при
z
1
≥
b
min
Q
3
(
z
)
≥
L
1
. Отсюда следует, что
8
c >
0
8
t
2
[0
, t
k
] :
Q
3
(
b
(
t
)+
c d
(
t
))
≥
L
1
,
t
k
Z
0
Q
3
(
b
(
t
)+
c d
(
t
))
dt
≥
L
1
t
k
.
Используя представление (32), равенство (37) и последнее соотноше-
ние, убеждаемся в справедивости утверждения (31).
Покажем теперь, что
lim
c
→−∞
t
k
Z
0
[
Q
1
(
b
(
t
) +
c d
(
t
))
Q
2
(
b
(
t
) +
c d
(
t
)) +
Q
3
(
b
(
t
) +
c d
(
t
))]
dt
=
−∞
.
(38)
Для этого снова воспользуемся представлением (32) и рассмотрим
сначала интеграл, содержащий произведение функций
Q
1
и
Q
2
.
Выберем отрезок
[
t
1
, t
2
] [0
, t
k
]
(рис. 1). На отрезке
[
t
1
, t
2
]
функция
d
(
t
)
достигает своего наименьшего значения
d
min
, причем
d
min
>
0
.
По условию
lim
z
1
→−∞
Q
1
(
z
1
) =
−∞ , 8
>
0
9
δ >
0
8
z
1
:
z
1
<
−
δ
)
Q
1
(
z
1
)
<
−
.
Зафиксируем произвольное
>
0
и выберем для него соответствую-
щее
δ
.
Если
δ >
−
b
max
, обозначим
σ
=
δ
+
b
max
d
min
>
0
.
22
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2006. № 3
