функция
Q
2
(
z
)
положительна и ограничена в
R
n
−
1
:
9
N
1
, N
2
>
0
8
z
2
R
n
−
1
:
N
1
≤
Q
2
(
z
)
≤
N
2
,
(27)
при любом
p
функция
Q
3
(
z
)
ограничена снизу на множестве
{
z
2
R
n
−
1
:
z
1
≥
p
}
, т.е.
8
p
9
L
1
2
R
8
z
1
:
z
1
≥
p
)
Q
3
(
z
)
≥
L
1
,
(28)
при любом
p
функция
Q
3
(
z
)
ограничена сверху на множестве
{
z
2
R
n
−
1
:
z
1
≤
p
}
, т.е.
8
p
9
L
2
2
R
8
z
1
:
z
1
≤
p
)
Q
3
(
z
)
≤
L
2
.
(29)
Теорема 2.
Пусть в системе
(22)
функция
Q
(
z
)
имеет вид
(25)
, функ-
ции
Q
1
(
z
1
)
,
Q
2
(
z
)
,
Q
3
(
z
)
удовлетворяют условиям
(26)
−
(29)
, обла-
стью значений функции
Ψ(
η
) =
η
Z
0
dη
R
(
η
)
является все множество действительных чисел. Тогда система
(22)
управляема в
R
n
за любой интервал времени
[0
, t
k
]
.
Доказательство.
Рассмотрим для системы (22) с функцией
Q
(
z
)
вида (25) задачу нахождения управления
u
=
u
(
t
)
,
t
2
[0
, t
k
]
, пере-
водящего систему из некоторого начального состояния (8) в конечное
состояние (9) за время
t
k
. Покажем, что если
Q
1
(
z
1
)
,
Q
2
(
z
)
,
Q
3
(
z
)
обладают свойствами (26)–(29), то всегда существует функция
B
(
t
)
,
для которой выполняются условия
теоремы 1
.
Будем искать
B
(
t
)
в виде (18). Выберем в качестве функции
b
(
t
)
интерполяционный многочлен степени
2
n
−
3
, удовлетворяющий усло-
виям (17), в качестве
d
(
t
)
— многочлен (20). Такой выбор гарантирует
выполнение условий (10). Покажем, что, каковы бы ни были начальное
и конечное состояния системы, существует значение константы
c
, при
котором граничная задача (23) имеет решение. Для этого достаточно
показать существование решения уравнения (24). Для системы (22) с
функцией
Q
(
z
)
вида (25) уравнение (24) принимает вид
η
k
Z
η
0
dη
R
(
η
)
=
t
k
Z
0
[
Q
1
(
b
(
t
) +
c d
(
t
))
Q
2
(
b
(
t
) +
c d
(
t
)) +
Q
3
(
b
(
t
) +
c d
(
t
))]
dt.
(30)
18
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2006. № 3
