(9)
для системы
(7)
, необходимо и достаточно, чтобы существовала
функция
B
(
t
)
2
C
n
−
1
([0
, t
k
])
, удовлетворяющая условиям
B
(0) =
z
10
,
˙
B
(0) =
z
20
, . . . , B
(
n
−
2)
(0) =
z
n
−
1
,
0
,
B
(
t
k
) =
z
1
k
,
˙
B
(
t
k
) =
z
2
k
, . . . , B
(
n
−
2)
(
t
k
) =
z
n
−
1
,k
,
(10)
и такая, что задача Коши
˙
η
=
q
(
B
(
t
)
, η
)
, η
(0) =
η
0
,
(11)
B
(
t
) = (
B
(
t
)
,
˙
B
(
t
)
, . . . , B
(
n
−
2)
(
t
))
т
имеет решение
η
(
t
)
, определенное при
t
2
[0
, t
k
]
и удовлетворяющее
условию
η
(
t
k
) =
η
k
.
(12)
Доказательство.
Д о с т а т о ч н о с т ь. Пусть
B
(
t
)
– некоторая
функция, удовлетворяющая условиям (10), и такая, что на
[0
, t
k
]
суще-
ствует решение
η
(
t
)
задачи Коши (11) и для этого решения выполнено
условие (12).
Рассмотрим управление
u
(
t
) =
B
(
n
−
1)
(
t
)
−
f
(
B
(
t
)
, η
(
t
))
g
(
B
(
t
)
, η
(
t
))
.
(13)
Оно непрерывно, так как в системе (7), согласно сделанному предпо-
ложению, функция
g
(
z, η
)
не обращается в нуль.
Покажем, что управление (13) является решением терминальной
задачи (8), (9) для системы (7).
Подставим в систему (7) управление (13) и функции
B
(
t
)
,
˙
B
(
t
)
,
. . .
,
B
(
n
−
2)
(
t
)
,
η
(
t
)
вместо переменных
z
1
,
z
2
,
. . .
,
z
n
−
1
,
η
. При этом
получим тождество. Действительно, первые
n
−
2
уравнения систе-
мы (7) обратятся в тождество по самому построению данной системы
функций,
(
n
−
1)
-е — исходя из вида управления (13), последнее урав-
нение — по предположению теоремы (так как функция
η
(
t
)
является
решением задачи Коши (11) и удовлетворяет условию (12)).
Кроме того, для построенной системы функций выполняются гра-
ничные условия (8) и (9). Это следует из выполнения условий (10) для
функции
B
(
t
)
и условия (12) для решения
η
(
t
)
задачи Коши (11).
Н е о б х о д и м о с т ь. Пусть
u
=
u
(
t
)
,
t
2
[0
, t
k
]
, — управление,
являющееся решением терминальной задачи (8), (9) для системы (7).
Пусть
z
1
(
t
)
,
z
2
(
t
)
,
. . .
,
z
n
−
1
(
t
)
,
η
(
t
)
— решение системы
˙
z
1
=
z
2
˙
z
2
=
z
3
. . .
˙
z
n
−
1
=
f
(
z, η
) +
g
(
z, η
)
u
(
t
)
˙
η
=
q
(
z, η
)
,
(14)
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2006. № 3
15
