и задачу нахождения такого непрерывного управления
u
=
u
(
t
)
,
t
2
[0
, t
k
]
, которое за время
t
k
переводит эту систему из начального
состояния
x
(0) =
x
0
(5)
в конечное
x
(
t
k
) =
x
k
.
(6)
Будем предполагать, что множеством допустимых состояний
O
является все пространство
R
n
.
Известно, что если система (4) эквивалентна в
R
n
системе регуляр-
ного канонического вида, определенной на
R
n
, то эта система упра-
вляема в
R
n
за любой интервал времени
[0
, t
k
]
. Далее будем считать,
что система (4) не преобразуется к системе канонического вида.
Терминальная задача для регулярной системы квазиканони-
ческого вида.
Пусть аффинная система (4) эквивалентна в
R
n
регу-
лярной системе квазиканонического вида:
˙
z
1
=
z
2
˙
z
2
=
z
3
. . .
˙
z
n
−
1
=
f
(
z, η
) +
g
(
z, η
)
u
˙
η
=
q
(
z, η
)
,
(7)
где
z
= (
z
1
, z
2
, . . . , z
n
−
1
)
т
2
R
n
−
1
,
η
2
R
,
f
(
z, η
)
, g
(
z, η
)
2
C
∞
(R
n
)
,
g
(
z, η
)
не обращается в нуль в
R
n
.
Отображение эквивалентности
Φ : R
n
→
R
n
позволяет сформули-
ровать для системы (7) эквивалентную терминальную задачу: найти
непрерывное управление
u
=
u
(
t
)
,
t
2
[0
, t
k
]
, переводящее систему (7)
за тот же интервал времени из начального состояния
Φ(
x
0
) = (
z
10
, z
20
, . . . , z
n
−
1
,
0
, η
0
)
т
(8)
в конечное состояние
Φ(
x
k
) = (
z
1
k
, z
2
k
, . . . , z
n
−
1
,k
, η
k
)
т
.
(9)
Решение этой терминальной задачи одновременно является и ре-
шением исходной задачи (5), (6) для аффинной системы (4), так как
при переходе к эквивалентной системе квазиканонического вида упра-
вление и время не преобразуются, а отображение
Φ
−
1
отображает тра-
ектории системы (7) в траектории аффинной системы (4), реализуемые
тем же управлением.
Теорема 1.
Для того чтобы существовало непрерывное управление
u
=
u
(
t
)
,
t
2
[0
, t
k
]
, являющееся решением терминальной задачи
(8)
,
14
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2006. № 3
